高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）练习

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专题40 函数y=Asin(x+φ)
考点1 三角函数的平移变换和伸缩变换
1.要得到函数y＝sin2x+π3的图象，只要将y＝sin2x的图象(　　)
A．向左平移π3个单位
B．向右平移π3个单位
C．向左平移π6个单位
D．向右平移π6个单位
【答案】C
【解析】因为y＝sin2x+π3＝sin2x+π6，所以把y＝sin2x的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y＝sin2x+π6＝sin2x+π3的图象.
2.为了得到函数y＝sin2x-π6的图象，可以将函数y＝cos2x的图象(　　)
A．向右平移π6个单位长度
B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向左平移π3个单位长度
【答案】B
【解析】y＝sin2x-π6＝cosπ2-2x-π6
＝cos(2π3-2x)＝cos(2x-2π3)＝cos2x-π3.
3.要得到函数y＝2cosx的图象，只需将函数y＝2sin2x+π4图象上的所有点的(　　)
A．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度
B．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度
【答案】C
【解析】∵y＝2cosx＝2sinx+π2，
∴y＝2sin2x+π4纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍y＝2sinx+π4向左平行移动π4个单位长度y＝2sinx+π2.
4.为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把y＝sin2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动12个单位长度
B．向右平行移动12个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
【答案】A
【解析】∵y＝sin(2x＋1)＝sin2(x＋12)，∴把y＝sin2x的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度，即可得到函数y＝sin(2x＋1)的图象.
5.为了得到y＝cos4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变.
6.将函数f(x)＝2sin(2x＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x＝π4对称，则φ的最小值为(　　)
A．3π4 B．12π C．38π D．18π
【答案】C
【解析】将函数f(x)＝2sin(2x＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，
可得y＝2sin[2(x－φ)＋π4]＝2sin(2x＋π4－2φ)的图象.
再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为y＝2sin(4x＋π4－2φ).
再根据所得图象关于直线x＝π4对称，可得4×π4＋π4－2φ＝kπ＋π2，k∈Z，
即φ＝－kπ2＋3π8，故φ的最小值为3π8.
7.为得到函数y＝sin(3x＋π4)的图象，只要把函数y＝sin(x＋π4)图象上所有点的(　　)
A．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】把函数y＝sin(x＋π4)图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，可得函数y＝sin(3x＋π4)的图象.
8.(1)如何由y＝sinx的图象得到y＝2cos-12x+π4的图象？
(2)如何由y＝13sin2x+π3的图象得到y＝sinx的图象？
【答案】(1)∵y＝2cos-12x+π4＝2cos12x-π4＝2cos12x+π4-π2＝2sin12x+π4，
∴y＝sinx向左平移π4个单位y＝sinx+π4横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍
y＝2sin12x+π4＝2cos-12x+π4.
(2)y＝13sin2x+π3横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍y＝sin2x+π3纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍
y＝sinx+π3向右平移π3个单位y＝sinx.

考点2 求三角函数的解析式
9.为了得到函数y＝3sin(2x＋π5)，x∈R的图象，只需把函数y＝3sin(x＋π5)，x∈R的图象上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】由函数图象变换的规则可知，函数y＝3sin(2x＋π5)，x∈R的图象可以由函数y＝3sin(x＋π5)，x∈R的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到.
10.已知简谐运动f(x)＝2sinπ3＋φ|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝π6
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝π3
【答案】A
【解析】由题意知图象经过点(0,1)，即2sinφ＝1，
又因|φ|＜π2可得，φ＝π6，由函数的周期得T＝6.
11.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是(　　)
A．A＝8 B．ω＝π6 C．φ＝π2 D．B＝10
【答案】C
【解析】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h米，设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，所以T＝12，ω＝π6，A＝8，B＝10，显然选项A、B、D正确，C错误.
12.y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)

A．y＝3sin(x＋1)
B．y＝－3sin(x＋1)
C．y＝3sin(x－1)
D．y＝－3sin(x－1)
【答案】D
【解析】A＝3，ω＝2πT＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f(x)＝3sin[x＋(π－1)]＝－3sin(x－1).
13.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线
x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是(　　)
A．y＝4sin4x+π6＋2
B．y＝2sin2x+π3＋2
C．y＝2sin4x+π3＋2
D．y＝2sin4x+π6＋2
【答案】D
【解析】∵最大值是4，故A不符合题意.
又∵T＝2πω＝π2，∴ω＝4，故排除B.
又4x＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)⇒4x＝π6＋kπ(k∈Z)⇒x＝π24＋kπ4＝π3(k∈Z)，
∴k＝76∉Z，排除C，故选D.
14.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.

【答案】A＝1，T＝43π，φ＝－3π4
【解析】由图知周期T＝43π，A＝1，
又因为T＝2πω，知ω＝32，
再将点(π6，1)代入y＝Asin(ωx＋φ)＋2，
计算求出φ＝－3π4.
15.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.

【答案】2，－π3
【解析】∵在同一周期内，函数在x＝5π12时取得最大值，
x＝11π12时取得最小值，
∴函数的周期T满足T2＝11π12－5π12＝π2，
由此可得T＝2πω＝π，解得ω＝2，
得函数表达式为f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又∵当x＝5π12时取得最大值2，
∴2sin(2··5π12＋φ)＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，
∵－π2＜φ＜π2，∴取k＝0，得φ＝－π3.
16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T(单位：s)与摆长l(单位：m)的算术平方根成正比.
(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；
(2)通常把周期为2s的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m，求在该地摆长为0.300m的单摆的周期.
【答案】(1)∵周期T(单位：s)与摆长l(单位：m)的算术平方根成正比，
∴T＝2π1g.
(2)∵某地秒摆的摆长为0.994m，
∴2＝2π0.994g，
∴g＝0.994π2，
∴摆长为0.300m的单摆的周期为2π0.3000.994π2≈1.095.
17.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定h＝2sint-π4.
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；
(2)小球在开始震动时的位置在哪里？
(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(4)经过多少时间小球往复运动一次？
(5)每秒钟小球能往复振动多少次？

【答案】(1)由题意可得h＝2sint+π4的图象，如图.

(2)由题意可得当t＝0时，h＝2sint+π4＝2，
故小球在开始震动时的位置在(0，2).
(3)由解析式可得振幅A＝2，
故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米.
(4)可得函数的周期为T＝2π，故小球往复运动一次需2π.
(5)可得频率为12π，即每秒钟小球能往复振动12π次.
18.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.

【答案】∵14T＝＝π8－(－π8)＝π4，∴T＝2πω＝π，解得ω＝2.
根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4，∴函数f(x)＝2sin(2x－π4).

考点3 三角函数图像的综合应用
19.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(　　)
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0＜|a|＜1时，
T＞2π，且最小值为正数，A符合；
当|a|＞1时，T＜2π，B符合.排除A、B、C，故选D.
20.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则(　　)
A．f(x)的图象过点0,12
B．f(x)在5π12,2π3上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是5π12,0
D．f(x)的最大值是A
【答案】C
【解析】∵周期T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.
又∵f(x)的图象关于直线x＝2π3对称，
∴2×2π3＋φ＝kπ＋π2k∈Z，φ＝kπ－5π6k∈Z.
又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝Asin(2x+π6).
∴图象过0,A2.
当x＝5π12，2x＋π6＝π，即f5π12＝0时，5π12,0是f(x)的一个对称中心.
21.函数y＝lgsin(π4－2x)的单调递增区间是()
A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)
B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)
C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)
D．kπ-3π8,kπ-π8(k∈Z)
【答案】D
【解析】令2kπ＋π＜2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，2kπ＋5π4＜2x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，kπ＋5π8＜x≤kπ＋7π8(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(kπ－3π8，kπ－π8](k∈Z).
22.关于f(x)＝4sin2x+π3(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos2x-π6；
③y＝f(x)图象关于-π6,0对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.
其中正确命题的序号为________.
【答案】②③
【解析】对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ(k∈Z).
∴x＝k2π－π6，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin2x+π3利用公式得
f(x)＝4cosπ2-2x+π3＝4cos2x-π6，
∴②对；对于③，f(x)＝4sin2x+π3的对称中心满足2x＋π3＝kπ，k∈Z，
∴x＝k2π－π6，k∈Z，∴-π6,0是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，∴x＝π12＋kπ2，k∈Z，∴④错.
23.如下图，f(x)＝Asin2ωx+φ(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.

【答案】(1)由题知A＝2，T＝432π3+π12＝π，由周期公式得2ω＝2πT＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ).
又∵f(x)的图象过(0，－1)，
∴2sinφ＝－1，
又∵－π2＜φ＜0，
∴φ＝－π6.
∴f(x)＝2sin(2x－π6).
(2)∵x∈[－π，－π2]，∴2x－π6∈-13π6,-7π6，
∴2sin(2x－5π6)∈[－1,2]，
∴函数f(x)在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].
24.已知函数f(x)＝Asinωx+φ(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.

【答案】∵14T＝π8－(－π8)＝π4，∴T＝2πω＝π，解得ω＝2.
根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4，
∴函数f(x)＝2sin(2x－π4).
25.已知函数f(x)＝Asinωx+φ(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合.

【答案】(1)由图象可以得到函数f(x)的振幅A＝3，
设函数周期为T，则34T＝4π－π4＝15π4，所以T＝5π，则ω＝25，
由ωx0＋φ＝0，得25×π4＋φ＝0，所以φ＝－π10，
所以f(x)＝3sin(25x－π10).
(2)由π2＋2kπ≤25x－π10≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π2＋5kπ≤x≤4π＋5kπ(k∈Z)，
所以函数的减区间为(3π2＋5kπ，4π＋5kπ)，k∈Z.
函数f(x)的最大值为3，当且仅当25x－π10＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝3π2＋5kπ(k∈Z)时函数取得最大值.
所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为{x|x＝3π2＋5kπ(k∈Z)}.
26.已知函数f(x)＝Asinωx+φ(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x＋π8)的零点.

【答案】(1)由图知A＝2，T＝25π8-π8＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ).
又∵f(π8)＝2sinπ4+φ＝2，∴sin(π4＋φ)＝1，
∴π4＋φ＝π2＋2kπ，∴φ＝π4＋2kπ(k∈Z).∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4，
∴函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π4).
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)，
∴f(x＋π8)＝2sin2x+π2＝2cos2x＝0，
∴2x＝kπ＋π2，即x＝kπ2＋π4(k∈Z).
∴函数y＝f(x＋π8)的零点为x＝kπ2＋π4(k∈Z).
27.已知函数f(x)＝Asinωx+φ(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2).
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.
【答案】(1)由题意作出f(x)的简图如图.

由图象知A＝2，由T2＝2π，得T＝4π，
∴4π＝2πω，即ω＝12，
∴f(x)＝2sin(12x＋φ)，
∴f(0)＝2sinφ＝1.
又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，
∴f(x)＝2sin(12x＋π6).
∵f(x0)＝2sin(12x0＋π6)＝2，
∴12x0＋π6＝π2＋2kπ，k∈Z，
∴(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝2π3.
(2)由－π2＋2kπ≤12x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
得－43π＋4kπ≤x≤23π＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为-4π3+4kπ,2π3+kπ(k∈Z).
(3)∵－π≤x≤π，
∴－π3≤12x＋π6≤2π3，
∴－32≤sin12x+π6≤1，
∴－3≤f(x)≤2，故f(x)的值域为[－3，2].