人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课堂教学课件ppt

5.4.3　正切函数的性质与图象

课标要求　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.

素养要求　通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.

一、正切函数的周期性与奇偶性

1.问题　正切函数y＝tan x的定义域是什么？

提示　.

2.思考　回忆诱导公式二与诱导公式三中正切公式，你能说明正切函数有什么性质？

提示　tan(π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan(－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数.

3.填空　正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是π.

4.做一做　函数y＝2tan (－x)是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数，又是偶函数

D.非奇非偶函数

答案　A

解析　y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数.

二、正切函数的图象

1.思考　你能用y＝tan x的性质做出函数y＝tan x图象吗？

提示　①利用描点法作y＝tan x，x∈的图象.②根据奇函数，作y＝tan x，x∈关于原点的对称图形，得y＝tan x，x∈的图象.③根据正切函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，就可以得到正切函数的图象.

2.填空　(1)正切函数的图象叫做正切曲线.

(2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

温馨提醒　画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－，x＝.

3.做一做　当x∈时，函数y＝|tan x|的图象(　　)

A.关于原点对称   B.关于y轴对称

C.关于x轴对称   D.没有对称轴

答案　B

解析　作出函数y＝|tan x|的图象(略)，知关于y轴对称.

三、y＝tan x的单调性和值域

1.思考　如图正切函数的图象，根据图象回答下面问题.

(1)从正切曲线上观察正切值，在上是增加的吗？在上是增加的吗？

提示　在上是增加的，在上是增加的.

(2)当x∈时，正切函数的值域是什么？

提示　实数集R.

(3)利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？

提示　对称中心，k∈Z.

2.填空　(1)正切函数在每一个区间，k∈Z内都单调递增.

(2)正切函数的值域是实数集R.

温馨提醒　(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数.

(2)正切函数无单调递减区间，在每一个区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间.

3.做一做　函数y＝tan，x∈的值域是________.

答案　(－∞，1)

解析　由－<x<，

得－<2x－<，

∴tan<1，则函数的值域为(－∞，1).

4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数.(×)

(2)函数y＝tan x的图象对称中心是(kπ，0)(k∈Z).(×)

(3)正切函数y＝tan x无单调递减区间.(√)

(4)函数y＝2tan x，x∈的值域是[0，＋∞).(√)

题型一　正切函数的定义域、值域

例1 (1)函数y＝3tan的定义域为________；

(2)函数y＝tan2x－2tan x的值域为________.

答案　(1)

(2)[－1，3＋2]

解析　(1)由－≠＋kπ，k∈Z，

得x≠－－4kπ，k∈Z，

即函数的定义域为.

(2)令u＝tan x，∵|x|≤，

∴由正切函数的图象知u∈[－，]，

∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，

∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，

∴当u＝1时，ymin＝－1，

当u＝－时，ymax＝3＋2，

∴原函数的值域为[－1，3＋2].

思维升华　1.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求解x.

2.处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.

训练1 函数y＝tan2＋tan＋1的定义域为________，值域为________.

答案　　

解析　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

所以函数的定义域为.

设t＝tan，

则t∈R，y＝t2＋t＋1＝＋≥，

所以原函数的值域是.

题型二　正切函数的单调性

角度1　求正切型函数的单调区间

例2 求函数y＝tan的单调区间.

解　y＝tan＝－tan，

由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－π<x<4kπ＋3π(k∈Z)，

所以函数y＝tan的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z)，无单调递增区间.

思维升华　求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间

(1)ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z，求x的取值范围.

(2)ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.

角度2　比较大小

例3 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.

(1)tan与tan ；

(2)tan与tan.

解　(1)因为tan＝tan，

tan＝tan，

又0<<<，y＝tan x在上是增函数，

所以tan<tan，即tan<tan.

(2)因为tan＝－tan，

tan＝－tan，

又0<<<，y＝tan x在上是增函数，

所以tan>tan，

所以－tan<－tan，

故tan<tan.

思维升华　运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

(2)运用单调性比较大小关系.

训练2 已知函数f(x)＝3tan.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f(π)与f的大小.

解　(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，

所以T＝＝＝4π.

由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z).

所以f(x)＝－3tan

在(k∈Z)上单调递减.故原函数的最小正周期为4π，

单调递减区间为(k∈Z).

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，

f＝3tan＝3tan＝－3tan ，

因为0<<<，且tan <tan .

所以f(π)>f.

题型三　正切函数图象与性质的综合应用

例4 设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的单调区间及对称中心；

(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集.

解　(1)由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z).

所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间.

由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，

故函数f(x)的对称中心是(k∈Z).

(2)由－1≤tan≤，

得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，

解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z).

所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.

思维升华　1.正切曲线的对称中心是，k∈Z，不存在对称轴，是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线构成.

2.研究正切型函数的性质及应用，注意定义域优先原则，视“ωx＋φ”为一个整体.

训练3 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.

解　由y＝|tan x|得，

y＝

其图象如图.

由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数.

函数y＝|tan x|的周期T＝π，

函数y＝|tan x|的单调递增区间为(k∈Z)，

单调递减区间为(k∈Z).

[课堂小结]

1.正切函数在定义域内不单调， 对称中心是(k∈Z)，可利用“三点两线法”作y＝tan x在区间内的简图.

2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A≠0，ω>0)的周期可应用公式T＝，也可以用函数的图象求解.

3.求函数y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需由－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)解出x的取值范围即可.但若ω<0，可利用诱导公式将其化为正值，还要注意A的正负对函数单调性的影响.

一、基础达标

1.函数f(x)＝cos＋tan x为(　　)

A.奇函数   B.偶函数

C.非奇非偶函数   D.既奇又偶函数

答案　A

解析　因为f(x)＝sin x＋tan x，，

定义域关于原点对称，

f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，

故函数为奇函数.

2.与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A.x＝   B.y＝

C.x＝   D.y＝

答案　C

解析　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).

令k＝0，得x＝.

3.函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)

答案　A

解析　当x＝π时，tan＝0，排除C、D选项，

又x－≠kπ＋，得x≠2kπ＋，k∈Z，

∴排除B项，只有A项适合.

4.(多选)关于y＝tan，下列说法正确的是(　　)

A.是奇函数

B.在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D.最小正周期为

答案　CD

解析　函数的定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错；

函数y＝tan没有单调减区间，故B错；

当x＝时，y＝0，C正确；

由T＝，知D正确.

5.已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　)

A.0<ω≤1   B.－1≤ω<0

C.ω≥1   D.ω≤－1

答案　B

解析　∵y＝tan ωx在内单调递减，

∴ω<0且T＝≥π，

∴－1≤ω<0.

6.函数y＝－2＋tan的单调递增区间是________.

答案　，k∈Z

解析　由kπ－<＋<kπ＋，k∈Z，

得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，

∴函数的单调增区间是，k∈Z.

7.比较大小：tan ________tan .

答案　>

解析　因为tan ＝tan ，

tan ＝tan ，

又0<<<，

y＝tan x在内单调递增，

所以tan <tan ，即tan <tan .

8.y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为________.

答案　

解析　y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为.

9.画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其周期性、奇偶性，求出单调递增区间.

解　f(x)＝tan|x|化为f(x)＝

根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，

由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调递增区间为，(k∈N).

10.已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间.

解　由T＝，1<T<，且k∈N*，

得1<<，则k＝3.

因此f(x)＝2tan.

由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，

所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数.

由－＋kπ<3x－<＋kπ，k∈Z，

得－＋<x<＋，k∈Z.

所以f(x)＝2tan的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间.

二、能力提升

11.(多选)在下列函数中，以π为周期，且在区间内单调递减的是(　　)

A.y＝sin  B.y＝cos 2x

C.y＝sin  D.y＝tan

答案　BD

解析　A中，y＝sin 的周期T＝4π，不合题意；

B中，y＝cos 2x的周期为π，且在区间内单调递减，符合题意；

C中，y＝sin的周期为π，但在区间内不单调递减，不符合题意；

D中，y＝tan＝－tan的周期为π，且在内单调递减，符合题意.

12.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

答案　D

解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；

当x＝π时，y＝0；当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x<0.故选D.

13.已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.

(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；

(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围.

解　(1)当θ＝－，f(x)＝x2－x－1＝－.

∵x∈[－1，]，

∴当x＝时，f(x)取得最小值－，

当x＝－1时，f(x)取得最大值.

(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.

∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，

∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，即tan θ≥1或tan θ≤－.

又θ∈，

∴θ的取值范围是∪.

三、创新拓展

14.是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由.

解　存在.y＝tan

＝tan，

∵y＝tan x在区间(k∈Z)上为增函数，∴a<0，

又x∈，

∴－ax∈，

∴

解得－－≤a≤6－8k(k∈Z).

由－－＝6－8k得k＝1，此时－2≤a≤－2，

∴a＝－2<0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意.