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    人教a版高中数学必修第一册4-3-2对数的运算学案
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    人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案,共12页。

    1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.
    2.掌握换底公式及其推论.
    3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
    1.对数运算性质
    如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
    (1)lga(M·N)=lgaM+lgaN;
    (2)lgaeq \f(M,N)=lgaM-lgaN;
    (3)lgaMn=nlgaM(n∈R).
    温馨提示:对数的这三条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立.例如,lg2[(-3)·(-5)]=lg2(-3)+lg2(-5)是错误的.
    2.对数换底公式
    若c>0,且c≠1,则lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,b>0).
    3.由换底公式推导的重要结论
    (1)lganbn=lgab.
    (2)lganbm=eq \f(m,n)lgab.
    (3)lgab·lgba=1.
    (4)lgab·lgbc·lgcd=lgad.
    1.我们知道am+n=am·an,那么lga(M·N)=lgaM·lgaN正确吗?举例说明.
    [答案] 不正确,例如lg24=lg2(2×2)=lg22·lg22=1×1=1,而lg24=2
    2.你能推出lga(MN)(M>0,N>0)的表达式吗?
    [答案] 能.令am=M,an=N,∴MN=am+n,由对数定义知,lgaM=m,
    lgaN=n,lga(MN)=m+n,
    ∴lga(MN)=lgaM+lgaN
    3.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( )
    (2)lga(xy)=lgax·lgay.( )
    (3)lg2(-5)2=2lg2(-5).( )
    (4)由换底公式可得lgab=eq \f(lg-2b,lg-2a).( )
    [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
    题型一 对数运算性质的应用
    【典例1】 求下列各式的值:
    (1)lg345-lg35;
    (2)lg24·lg28;
    (3)lg14-2lgeq \f(7,3)+lg7-lg18;
    (4)lg52+eq \f(2,3)lg8+lg5·lg20+(lg2)2.
    [思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应.
    [解] (1)lg345-lg35=lg3eq \f(45,5)=lg39=lg332=2.
    (2)lg24·lg28=lg222·lg223=2×3=6.
    (3)原式=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(lg2+lg9)
    =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-lg2-2lg3=0.
    (4)原式=2lg5+eq \f(2,3)lg23+lg5·lg(22×5)+(lg2)2
    =2lg5+2lg2+lg5·(2lg2+lg5)+(lg2)2
    =2(lg5+lg2)+2lg5·lg2+(lg5)2+(lg2)2
    =2lg10+(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2
    =2+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.
    对数式化简与求值的基本原则和方法
    (1)基本原则
    对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
    (2)两种常用的方法
    ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
    ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
    [针对训练]
    1.计算:
    (1)lg535-2lg5eq \f(7,3)+lg57-lg51.8;
    (2)lg2eq \r(\f(7,48))+lg212-eq \f(1,2)lg242-1;
    (3)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)-eq \f(4,3)lgeq \r(8)+lgeq \r(245).
    [解] (1)原式=lg5(5×7)-2(lg57-lg53)+lg57-lg5eq \f(9,5)=lg55+lg57-2lg57+2lg53+lg57-2lg53+lg55=2.
    (2)原式=lg2eq \f(\r(7),\r(48))+lg212-lg2eq \r(42)-lg22
    =lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)=lg2eq \f(1,2\r(2))

    (3)解法一:原式=eq \f(1,2)(5lg2-2lg7)-eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg2+eq \f(1,2)(2lg7+lg5)=eq \f(5,2)lg2-lg7-2lg2+lg7+eq \f(1,2)lg5
    =eq \f(1,2)lg2+eq \f(1,2)lg5=eq \f(1,2)(lg2+lg5)=eq \f(1,2)lg10=eq \f(1,2).
    解法二:原式=lgeq \f(4\r(2),7)-lg4+lg7eq \r(5)=lgeq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4)
    =lg(eq \r(2)×eq \r(5))=lgeq \r(10)=eq \f(1,2).
    题型二 对数换底公式的应用
    【典例2】 (1)计算:①lg29·lg34;
    ②eq \f(lg5\r(2)×lg79,lg5\f(1,3)×lg7\r(3,4)).
    (2)证明:①lgab·lgba=1(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1);
    ②lganbn=lgab(a>0,且a≠1,n≠0).
    [思路导引] 利用换底公式计算、证明.
    [解] (1)①原式=eq \f(lg9,lg2)·eq \f(lg4,lg3)=eq \f(lg32·lg22,lg2·lg3)
    =eq \f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)=4.
    ②原式=eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))·eq \f(lg79,lg7\r(3,4))=lgeq \f(1,3)eq \r(2)·lgeq \r(3,4)9
    =eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq \f(lg9,lg\r(3,4))=eq \f(\f(1,2)lg2·2lg3,-lg3·\f(2,3)lg2)=-eq \f(3,2).
    (2)证明:①lgab·lgba=eq \f(lgb,lga)·eq \f(lga,lgb)=1.
    ②lganbn=eq \f(lgbn,lgan)=eq \f(nlgb,nlga)=eq \f(lgb,lga)=lgab.
    [变式] (1)若本例(2)①改为“lgab·lgbc·lgcd=lgad”如何证明?
    (2)若本例(2)②改为“lganbm=eq \f(m,n)lgab”如何证明?
    [证明] (1)lgab·lgbc·lgcd
    =eq \f(lgb,lga)·eq \f(lgc,lgb)·eq \f(lgd,lgc)=eq \f(lgd,lga)=lgad.
    (2)lganbm=eq \f(lgbm,lgan)=eq \f(mlgb,nlga)=eq \f(m,n)lgab.
    应用换底公式应注意的2个方面
    (1)化成同底的对数时,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
    (2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
    [针对训练]
    2. ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg227))等于( )
    A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.6D.-6
    [解析]

    [答案] D
    3.lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)=________.
    [解析] 原式=eq \f(lg\f(1,25),lg2)·eq \f(lg\f(1,8),lg3)·eq \f(lg\f(1,9),lg5)
    =eq \f(-2lg5·-3lg2·-2lg3,lg2lg3lg5)=-12.
    [答案] -12
    题型三 对数的综合应用
    【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)(结果保留1位有效数字)?(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
    (2)已知lg189=a,18b=5,用a、b表示lg3645.
    [思路导引] 应用换底公式化简求值.
    [解] (1)设最初的质量是1,经过x年,剩余量是y,则:
    经过1年,剩余量是y=0.75;
    经过2年,剩余量是y=0.752;

    经过x年,剩余量是y=0.75x;
    由题意得0.75x=eq \f(1,3),
    ∴x=lg0.75eq \f(1,3)=eq \f(lg\f(1,3),lg\f(3,4))=eq \f(-lg3,lg3-lg4)≈4.
    ∴估计经过4年,该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3).
    (2)解法一:由18b=5,得lg185=b,又lg189=a,
    所以lg3645=eq \f(lg1845,lg1836)=eq \f(lg189×5,lg18\f(18×2×9,9))
    =eq \f(lg189+lg185,lg18182-lg189)=eq \f(a+b,2-a).
    解法二:设lg3645=x,则36x=45,即62x=5×9,
    从而有182x=5×9x+1,对这个等式的两边都取以18为底的对数,
    得2x=lg185+(x+1)lg189,
    又18b=5,所以b=lg185.
    所以2x=b+(x+1)a,
    解得x=eq \f(a+b,2-a),即lg3645=eq \f(a+b,2-a).
    解对数综合应用问题的3条策略
    (1)统一化:所求为对数式,条件转为对数式.
    (2)选底数:针对具体问题,选择恰当的底数.
    (3)会结合:学会换底公式与对数运算法则结合使用.
    [针对训练]
    4.若lg2=a,lg3=b,则lg512等于________.
    [解析] lg512=eq \f(lg12,lg5)=eq \f(lg3+2lg2,1-lg2)=eq \f(b+2a,1-a).
    [答案] eq \f(b+2a,1-a)
    5.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(M,m)))2000(e为自然对数的底).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).(ln3≈1.099)
    [解] 由ev=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(M,m)))2000及M=2m,得ev=32000,两边取以e为底的对数,
    v=ln32000=2000ln3≈2000×1.099
    =2198(m/s).
    ∴火箭的最大速度为2198 m/s.
    1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
    A.lgax·lgay=lga(x+y)
    B.(lgax)n=nlgax
    C.eq \f(lgax,n)=lgaeq \r(n,x)
    D.eq \f(lgax,lgay)=lgax-lgay
    [解析] 根据对数的运算性质知,C正确.
    [答案] C
    2.化简eq \f(1,2)lg612-2lg6eq \r(2)的结果为( )
    A.6eq \r(2)B.12eq \r(2) C.lg6eq \r(3) D.eq \f(1,2)
    [解析] eq \f(1,2)lg612-2lg6eq \r(2)=lg62eq \r(3)-lg62=
    lg6eq \f(2\r(3),2)=lg6eq \r(3).故选C.
    [答案] C
    3.已知ln2=a,ln3=b,那么lg32用含a,b的代数式可表示为( )
    A.a-b B.eq \f(a,b) C.abD.a+b
    [解析] lg32=eq \f(ln2,ln3)=eq \f(a,b).
    [答案] B
    4.计算lg916·lg881的值为________.
    [解析] lg916·lg881=eq \f(lg24,lg32)·eq \f(lg34,lg23)=eq \f(4lg2,2lg3)·eq \f(4lg3,3lg2)=eq \f(8,3).
    [答案] eq \f(8,3)
    5.已知2x=3y=6z≠1,求证:eq \f(1,x)+eq \f(1,y)=eq \f(1,z).
    [证明] 设2x=3y=6z=k(k≠1),
    ∴x=lg2k,y=lg3k,z=lg6k,
    ∴eq \f(1,x)=lgk2,eq \f(1,y)=lgk3,eq \f(1,z)=lgk6=lgk2+lgk3,
    ∴eq \f(1,z)=eq \f(1,x)+eq \f(1,y).
    课后作业(三十)
    复习巩固
    一、选择题
    1.eq \f(lg29,lg23)=( )
    A.eq \f(1,2)B.2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(9,2)
    [解析] 原式=eq \f(lg29,lg23)=eq \f(lg232,lg23)=2.
    [答案] B
    2.2lg510+lg50.25=( )
    A.0B.1 C.2D.4
    [解析] 原式=lg5102+lg50.25=lg5(102×0.25)=lg525=2.
    [答案] C
    3.若a>0,且a≠1,则下列说法正确的是( )
    A.若M=N,则lgaM=lgaN
    B.若lgaM=lgaN,则M=N
    C.若lgaM2=lgaN2,则M=N
    D.若M=N,则lgaM2=lgaN2
    [解析] 在A中,当M=N≤0时,lgaM与lgaN均无意义,因此lgaM=lgaN不成立,故A错误;在B中,当lgaM=lgaN时,必有M>0,N>0,且M=N,因此M=N成立,故B正确;在C中,当lgaM2=lgaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N,例如M=2,N=-2时,也有lgaM2=lgaN2,但M≠N,故C错误;在D中,若M=N=0,则lgaM2与lgaN2均无意义,因此lgaM2=lgaN2不成立,故D错误.
    [答案] B
    4.设a=lg32,则lg38-2lg36用a表示的形式是( )
    A.a-2 B.3a-(1+a)2
    C.5a-2D.-a2+3a-1
    [解析] ∵a=lg32,
    ∴lg38-2lg36=3lg32-2(lg32+1)=3a-2(a+1)=a-2.
    [答案] A
    5.计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为( )
    A.3B.4
    C.5D.6
    [解析] 原式=eq \f(lg25,lg2)·eq \f(lg2\r(2),lg3)·eq \f(lg9,lg5)=eq \f(2lg5,lg2)·eq \f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq \f(2lg3,lg5)=6.
    [答案] D
    二、填空题
    6.lgeq \r(5)+lgeq \r(20)的值是________.
    [解析] lgeq \r(5)+lgeq \r(20)=lgeq \r(100)=lg10=1.
    [答案] 1
    7.若lgab·lg3a=4,则b的值为________.
    [解析] lgab·lg3a=eq \f(lgb,lga)·eq \f(lga,lg3)=eq \f(lgb,lg3)=4,所以lgb=4lg3=lg34,所以b=34=81.
    [答案] 81
    8.四川汶川发生里氏8.0级特大地震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M=eq \f(2,3)lgE-3.2,其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹.
    [解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1,
    则8-6=eq \f(2,3)(lgE2-lgE1),即lgeq \f(E2,E1)=3.
    ∴eq \f(E2,E1)=103=1000,
    即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹.
    [答案] 1000
    三、解答题
    9.求下列各式的值:
    (1)2lg525+3lg264;
    (2)lg(eq \r(3+\r(5))+eq \r(3-\r(5)));
    (3)(lg5)2+2lg2-(lg2)2.
    [解] (1)∵2lg525=2lg552=4lg55=4,
    3lg264=3lg226=18lg22=18,
    ∴2lg525+3lg264=4+18=22.
    (2)原式=eq \f(1,2)lg(eq \r(3+\r(5))+eq \r(3-\r(5)))2
    =eq \f(1,2)lg(3+eq \r(5)+3-eq \r(5)+2eq \r(9-5))
    =eq \f(1,2)lg10=eq \f(1,2).
    (3)(lg5)2+2lg2-(lg2)2
    =(lg5)2-(lg2)2+2lg2
    =(lg5+lg2)(lg5-lg2)+2lg2
    =lg10(lg5-lg2)+2lg2=lg5+lg2=lg10=1.
    10.(1)若lgx+lgy=2lg(x-2y),求eq \f(x,y)的值;
    (2)设3x=4y=36,求eq \f(2,x)+eq \f(1,y)的值(x>0,y>0).
    [解] (1)因为lgx+lgy=2lg(x-2y),
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,y>0,?x-2y>0,?xy=x-2y2.))
    由xy=(x-2y)2,知x2-5xy+4y2=0,
    所以x=y或x=4y.
    又x>0,y>0且x-2y>0,
    所以舍去x=y,故x=4y,则eq \f(x,y)=4.
    (2)解法一:∵3x=36,4y=36,
    ∴x=lg336,y=lg436.
    ∴eq \f(1,x)=eq \f(1,lg336)=eq \f(1,\f(lg3636,lg363))=lg363,
    eq \f(1,y)=eq \f(1,lg436)=eq \f(1,\f(lg3636,lg364))=lg364.
    ∴eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=2lg363+lg364=lg36(9×4)=1.
    解法二:对等式3x=4y=36各边都取以6为底的对数,得lg63x=lg64y=lg636,
    即xlg63=ylg64=2.
    ∴eq \f(2,x)=lg63,eq \f(1,y)=lg62.
    ∴eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=lg63+lg62=lg66=1,
    即eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=1.
    综合运用
    11.若ab>0,给出下列四个等式:
    ①lg(ab)=lga+lgb; ②lgeq \f(a,b)=lga-lgb;
    ③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2=lgeq \f(a,b); ④lg(ab)=eq \f(1,lgab10).
    其中一定成立的等式的序号是( )
    A.①②③④B.①②
    C.③④D.③
    [解析] ∵ab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0,∴①②中的等式不一定成立;∵ab>0,∴eq \f(a,b)>0,eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2=eq \f(1,2)×2lgeq \f(a,b)=lgeq \f(a,b),∴③中等式成立;当ab=1时,lg(ab)=0,但lgab10无意义,∴④中等式不成立.故选D.
    [答案] D
    12.若2.5x=1000,0.25y=1000,则eq \f(1,x)-eq \f(1,y)=( )
    A.eq \f(1,3)B.3
    C.-eq \f(1,3)D.-3
    [解析] ∵x=lg2.51000,y=lg0.251000,
    ∴eq \f(1,x)=eq \f(1,lg2.51000)=lg10002.5,同理eq \f(1,y)=lg10000.25,
    ∴eq \f(1,x)-eq \f(1,y)=lg10002.5-lg10000.25=lg100010=eq \f(lg10,lg1000)=eq \f(1,3).
    [答案] A
    13.已知lg2=a,lg3=b,则lg36=________.
    [解析] lg36=eq \f(lg6,lg3)=eq \f(lg2+lg3,lg3)=eq \f(a+b,b).
    [答案] eq \f(a+b,b)
    14.计算lg225·lg3eq \f(1,16)·lg5eq \f(1,9)·lneq \r(e)=________.
    [解析] 原式=eq \f(2lg5,lg2)×eq \f(-4lg2,lg3)×eq \f(-2lg3,lg5)×eq \f(1,2)=8.
    [答案] 8
    15.设a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,求
    lg(ab)·(lgab+lgba)的值.
    [解] 原方程可化为2(lgx)2-4lgx+1=0.
    设t=lgx,则方程化为2t2-4t+1=0,
    ∴t1+t2=2,t1·t2=eq \f(1,2).
    又∵a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,
    ∴t1=lga,t2=lgb,
    即lga+lgb=2,lga·lgb=eq \f(1,2).
    ∴lg(ab)·(lgab+lgba)
    =(lga+lgb)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lgb,lga)+\f(lga,lgb)))
    =(lga+lgb)·eq \f(lgb2+lga2,lga·lgb)
    =(lga+lgb)·eq \f(lga+lgb2-2lga·lgb,lga·lgb)
    =2×eq \f(22-2×\f(1,2),\f(1,2))=12,
    即lg(ab)·(lgab+lgba)=12.
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