人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案，共12页。

1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2．掌握换底公式及其推论．
3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
1．对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，lg2[(－3)·(－5)]＝lg2(－3)＋lg2(－5)是错误的．
2．对数换底公式
若c>0，且c≠1，则lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0)．
3．由换底公式推导的重要结论
(1)lganbn＝lgab.
(2)lganbm＝eq \f(m,n)lgab.
(3)lgab·lgba＝1.
(4)lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
1．我们知道am＋n＝am·an，那么lga(M·N)＝lgaM·lgaN正确吗？举例说明．
[答案] 不正确，例如lg24＝lg2(2×2)＝lg22·lg22＝1×1＝1，而lg24＝2
2．你能推出lga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？
[答案] 能．令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义知，lgaM＝m，
lgaN＝n，lga(MN)＝m＋n，
∴lga(MN)＝lgaM＋lgaN
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)lga(xy)＝lgax·lgay.( )
(3)lg2(－5)2＝2lg2(－5)．( )
(4)由换底公式可得lgab＝eq \f(lg－2b,lg－2a).( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一 对数运算性质的应用
【典例1】 求下列各式的值：
(1)lg345－lg35；
(2)lg24·lg28；
(3)lg14－2lgeq \f(7,3)＋lg7－lg18；
(4)lg52＋eq \f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．
[解] (1)lg345－lg35＝lg3eq \f(45,5)＝lg39＝lg332＝2.
(2)lg24·lg28＝lg222·lg223＝2×3＝6.
(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.
(4)原式＝2lg5＋eq \f(2,3)lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2
＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2
＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2
＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[针对训练]
1．计算：
(1)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg51.8；
(2)lg2eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242－1；
(3)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245).
[解] (1)原式＝lg5(5×7)－2(lg57－lg53)＋lg57－lg5eq \f(9,5)＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55＝2.
(2)原式＝lg2eq \f(\r(7),\r(48))＋lg212－lg2eq \r(42)－lg22
＝lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝lg2eq \f(1,2\r(2))

(3)解法一：原式＝eq \f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg2＋eq \f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq \f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq \f(1,2)lg5
＝eq \f(1,2)lg2＋eq \f(1,2)lg5＝eq \f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq \f(1,2)lg10＝eq \f(1,2).
解法二：原式＝lgeq \f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq \r(5)＝lgeq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4)
＝lg(eq \r(2)×eq \r(5))＝lgeq \r(10)＝eq \f(1,2).
题型二 对数换底公式的应用
【典例2】 (1)计算：①lg29·lg34；
②eq \f(lg5\r(2)×lg79,lg5\f(1,3)×lg7\r(3,4)).
(2)证明：①lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
②lganbn＝lgab(a>0，且a≠1，n≠0)．
[思路导引] 利用换底公式计算、证明．
[解] (1)①原式＝eq \f(lg9,lg2)·eq \f(lg4,lg3)＝eq \f(lg32·lg22,lg2·lg3)
＝eq \f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.
②原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))·eq \f(lg79,lg7\r(3,4))＝lgeq \f(1,3)eq \r(2)·lgeq \r(3,4)9
＝eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq \f(lg9,lg\r(3,4))＝eq \f(\f(1,2)lg2·2lg3,－lg3·\f(2,3)lg2)＝－eq \f(3,2).
(2)证明：①lgab·lgba＝eq \f(lgb,lga)·eq \f(lga,lgb)＝1.
②lganbn＝eq \f(lgbn,lgan)＝eq \f(nlgb,nlga)＝eq \f(lgb,lga)＝lgab.
[变式] (1)若本例(2)①改为“lgab·lgbc·lgcd＝lgad”如何证明？
(2)若本例(2)②改为“lganbm＝eq \f(m,n)lgab”如何证明？
[证明] (1)lgab·lgbc·lgcd
＝eq \f(lgb,lga)·eq \f(lgc,lgb)·eq \f(lgd,lgc)＝eq \f(lgd,lga)＝lgad.
(2)lganbm＝eq \f(lgbm,lgan)＝eq \f(mlgb,nlga)＝eq \f(m,n)lgab.
应用换底公式应注意的2个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
[针对训练]
2. ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg227))等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．6D．－6
[解析]

[答案] D
3．lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(lg\f(1,25),lg2)·eq \f(lg\f(1,8),lg3)·eq \f(lg\f(1,9),lg5)
＝eq \f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.
[答案] －12
题型三 对数的综合应用
【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
(2)已知lg189＝a,18b＝5，用a、b表示lg3645.
[思路导引] 应用换底公式化简求值．
[解] (1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：
经过1年，剩余量是y＝0.75；
经过2年，剩余量是y＝0.752；
…
经过x年，剩余量是y＝0.75x；
由题意得0.75x＝eq \f(1,3)，
∴x＝lg0.75eq \f(1,3)＝eq \f(lg\f(1,3),lg\f(3,4))＝eq \f(－lg3,lg3－lg4)≈4.
∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3).
(2)解法一：由18b＝5，得lg185＝b，又lg189＝a，
所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg18\f(18×2×9,9))
＝eq \f(lg189＋lg185,lg18182－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法二：设lg3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，
从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，
得2x＝lg185＋(x＋1)lg189，
又18b＝5，所以b＝lg185.
所以2x＝b＋(x＋1)a，
解得x＝eq \f(a＋b,2－a)，即lg3645＝eq \f(a＋b,2－a).
解对数综合应用问题的3条策略
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
[针对训练]
4．若lg2＝a，lg3＝b，则lg512等于________．
[解析] lg512＝eq \f(lg12,lg5)＝eq \f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq \f(b＋2a,1－a).
[答案] eq \f(b＋2a,1－a)
5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2000(e为自然对数的底)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)
[解] 由ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2000及M＝2m，得ev＝32000，两边取以e为底的对数，
v＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099
＝2198(m/s)．
∴火箭的最大速度为2198 m/s.
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．lgax·lgay＝lga(x＋y)
B．(lgax)n＝nlgax
C.eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)
D.eq \f(lgax,lgay)＝lgax－lgay
[解析] 根据对数的运算性质知，C正确．
[答案] C
2．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)的结果为( )
A．6eq \r(2)B．12eq \r(2) C．lg6eq \r(3) D.eq \f(1,2)
[解析] eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)＝lg62eq \r(3)－lg62＝
lg6eq \f(2\r(3),2)＝lg6eq \r(3).故选C.
[答案] C
3．已知ln2＝a，ln3＝b，那么lg32用含a，b的代数式可表示为( )
A．a－b B.eq \f(a,b) C．abD．a＋b
[解析] lg32＝eq \f(ln2,ln3)＝eq \f(a,b).
[答案] B
4．计算lg916·lg881的值为________．
[解析] lg916·lg881＝eq \f(lg24,lg32)·eq \f(lg34,lg23)＝eq \f(4lg2,2lg3)·eq \f(4lg3,3lg2)＝eq \f(8,3).
[答案] eq \f(8,3)
5．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,z).
[证明] 设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，
∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk6＝lgk2＋lgk3，
∴eq \f(1,z)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y).
课后作业(三十)
复习巩固
一、选择题
1.eq \f(lg29,lg23)＝( )
A.eq \f(1,2)B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(9,2)
[解析] 原式＝eq \f(lg29,lg23)＝eq \f(lg232,lg23)＝2.
[答案] B
2．2lg510＋lg50.25＝( )
A．0B．1 C．2D．4
[解析] 原式＝lg5102＋lg50.25＝lg5(102×0.25)＝lg525＝2.
[答案] C
3．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则lgaM＝lgaN
B．若lgaM＝lgaN，则M＝N
C．若lgaM2＝lgaN2，则M＝N
D．若M＝N，则lgaM2＝lgaN2
[解析] 在A中，当M＝N≤0时，lgaM与lgaN均无意义，因此lgaM＝lgaN不成立，故A错误；在B中，当lgaM＝lgaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当lgaM2＝lgaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有lgaM2＝lgaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则lgaM2与lgaN2均无意义，因此lgaM2＝lgaN2不成立，故D错误．
[答案] B
4．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2D．－a2＋3a－1
[解析] ∵a＝lg32，
∴lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
[答案] A
5．计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为( )
A．3B．4
C．5D．6
[解析] 原式＝eq \f(lg25,lg2)·eq \f(lg2\r(2),lg3)·eq \f(lg9,lg5)＝eq \f(2lg5,lg2)·eq \f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq \f(2lg3,lg5)＝6.
[答案] D
二、填空题
6．lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)的值是________．
[解析] lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)＝lgeq \r(100)＝lg10＝1.
[答案] 1
7．若lgab·lg3a＝4，则b的值为________．
[解析] lgab·lg3a＝eq \f(lgb,lga)·eq \f(lga,lg3)＝eq \f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.
[答案] 81
8．四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝eq \f(2,3)lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝eq \f(2,3)(lgE2－lgE1)，即lgeq \f(E2,E1)＝3.
∴eq \f(E2,E1)＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．
[答案] 1000
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)2lg525＋3lg264；
(2)lg(eq \r(3＋\r(5))＋eq \r(3－\r(5)))；
(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.
[解] (1)∵2lg525＝2lg552＝4lg55＝4，
3lg264＝3lg226＝18lg22＝18，
∴2lg525＋3lg264＝4＋18＝22.
(2)原式＝eq \f(1,2)lg(eq \r(3＋\r(5))＋eq \r(3－\r(5)))2
＝eq \f(1,2)lg(3＋eq \r(5)＋3－eq \r(5)＋2eq \r(9－5))
＝eq \f(1,2)lg10＝eq \f(1,2).
(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2
＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2
＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2
＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
10．(1)若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求eq \f(x,y)的值；
(2)设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值(x>0，y>0)．
[解] (1)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，y>0，?x－2y>0，?xy＝x－2y2.))
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq \f(x,y)＝4.
(2)解法一：∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝lg336，y＝lg436.
∴eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg336)＝eq \f(1,\f(lg3636,lg363))＝lg363，
eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg436)＝eq \f(1,\f(lg3636,lg364))＝lg364.
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg36(9×4)＝1.
解法二：对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得lg63x＝lg64y＝lg636，
即xlg63＝ylg64＝2.
∴eq \f(2,x)＝lg63，eq \f(1,y)＝lg62.
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝lg63＋lg62＝lg66＝1，
即eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1.
综合运用
11．若ab>0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lga＋lgb; ②lgeq \f(a,b)＝lga－lgb；
③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lgeq \f(a,b)； ④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10).
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④B．①②
C．③④D．③
[解析] ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab>0，∴eq \f(a,b)>0，eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝eq \f(1,2)×2lgeq \f(a,b)＝lgeq \f(a,b)，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但lgab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.
[答案] D
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝( )
A.eq \f(1,3)B．3
C．－eq \f(1,3)D．－3
[解析] ∵x＝lg2.51000，y＝lg0.251000，
∴eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg2.51000)＝lg10002.5，同理eq \f(1,y)＝lg10000.25，
∴eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝lg10002.5－lg10000.25＝lg100010＝eq \f(lg10,lg1000)＝eq \f(1,3).
[答案] A
13．已知lg2＝a，lg3＝b，则lg36＝________.
[解析] lg36＝eq \f(lg6,lg3)＝eq \f(lg2＋lg3,lg3)＝eq \f(a＋b,b).
[答案] eq \f(a＋b,b)
14．计算lg225·lg3eq \f(1,16)·lg5eq \f(1,9)·lneq \r(e)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(2lg5,lg2)×eq \f(－4lg2,lg3)×eq \f(－2lg3,lg5)×eq \f(1,2)＝8.
[答案] 8
15．设a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求
lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．
[解] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.
设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq \f(1,2).
又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lga，t2＝lgb，
即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq \f(1,2).
∴lg(ab)·(lgab＋lgba)
＝(lga＋lgb)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))
＝(lga＋lgb)·eq \f(lgb2＋lga2,lga·lgb)
＝(lga＋lgb)·eq \f(lga＋lgb2－2lga·lgb,lga·lgb)
＝2×eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12，
即lg(ab)·(lgab＋lgba)＝12.