22.1二次函数的图像和性质 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）

22.1二次函数的图像和性质 人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面直角坐标系中，两条抛物线、关于轴对称，且它们的顶点相距个单位长度，已知抛物线：经过点，则的值是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

2. 已知二次函数为常数，，点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是(    )

A. 或 B.
C. 或 D.

3. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点下列说法：
   ；；；若，是抛物线上的两点，则；其中
   其中说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点下列结论：
   ；
   当时，随的增大而增大；
   ；
   ；
   ；
   其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知二次函数的图象如图所示，其顶点为，有下列结论：；函数最大值为；；其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，抛物线交轴于点，，将该抛物线向右平移个单位后，与原抛物线交于点，则点的纵坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知点，，都在抛物线上，点在点左侧，下列选项正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

11. 已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线顶点，且当时，随的增大而减小．若为等边三角形，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 二次函数的与的部分对应值如下表：

则当时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 二次函数在范围内的最小值为          ．
14. 若实数，满足，设，则的取值范围是______．
15. 已知二次函数为常数，，当自变量分别取，，时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为______用“”连接．
16. 在平面直角坐标系中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛物线的顶点为，它的某条同轴抛物线的顶点为，且，那么点的坐标是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知二次函数．

将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值

当时，求的值

当时，求的值．

18. 本小题分
    如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点．
    求抛物线的解析式及点的坐标；
    点，为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．

19. 本小题分
    如图，抛物线经过，两点，点为抛物线的顶点，连接，点为的中点请解答下列问题：
    
     

求抛物线的解析式及顶点的坐标

在轴上找一点，使的值最小，则的最小值为          ．

20. 本小题分
    已知抛物线．
    求这条抛物线的对称轴；
    若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式；
    设点，在抛物线上，若，求的取值范围．
21. 本小题分
    已知一次函数，二次函数其中．
    求二次函数图象的顶点坐标用含的代数式表示；
    利用函数图象解决下列问题：
    若，求当且时，自变量的取值范围；
    如果满足且时自变量的取值范围内有且只有一个整数，直接写出的取值范围．
22. 本小题分
    设二次函数是常数，．
    判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由．
    若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
    若，点在该二次函数图象上，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将代入得，
，
抛物线顶点坐标为，
抛物线、关于轴对称，它们的顶点相距个单位长度，
或，
解得或，
故选：．
将代入解析式求出的值，然后用含代数式表示抛物线顶点坐标，根据抛物线、关于轴对称，且它们的顶点相距个单位长度求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

2.【答案】 

【解析】解：二次函数，
对称轴为，抛物线与轴的交点为，
点是该函数图象上一点，当时，，
当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：．
先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，
对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故选：．
首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，
所以正确；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
所以正确；
抛物线经过，
当时，，
，
所以错误；
点离对称轴要比点离对称轴远，
，
所以正确；
抛物线的对称轴，
当时，有最大值，
其中
，
其中，
所以正确．
所以其中说法正确的是．
故选：．
根据抛物线开口向下，可得，根据抛物线对称轴为，可得，根据抛物线与轴的交点在轴上方，可得，进而可以判断；
根据对称轴为，且经过点，可得抛物线与轴的另一个交点为，可得，即，进而可以判断；
根据抛物线经过，可得当时，，即，进而可以判断；
根据点离对称轴要比点离对称轴远，可得，进而可以判断；
根据抛物线的对称轴，可得当时，有最大值，即其中根据，即可进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上，
如图，

当抛物线顶点在上时，，
，
如图，当抛物线经过点时，，

解得舍或，
，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点可得抛物线运动轨迹，结合图象求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，结合图象求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
时，随增大而增大，错误．
，
，错误．
抛物线经过，
，正确．
时，取最大值，
，
，选项正确．
故选：．
由抛物线开口方向，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线经过，可得抛物线对称轴为直线，从而判断，由时，可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故A，选项不符合题意；
当时，
，
对称轴，
故B选项不符合题意；
当时，，
对称轴，
故C选项符合题意，
故选：．
根据，可知，可排除，选项，当时，可知对称轴，可排除选项，当时，可知对称轴，可知选项符合题意．
本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，正确．
抛物线开口向下，顶点为，
函数最大值为，正确．
抛物线与轴有两个交点，
，错误．
，
，
，错误．
故选：．
由抛物线开口方向，与轴交点位置可判断，由抛物线开口方向及顶点坐标可判断，由抛物线与轴交点个数可判断，由抛物线对称轴为直线可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数与几何变换、平移等知识点，熟练掌握平移中坐标的变化是解题的关键抛物线向右平移个单位，得到的抛物线是，联立方程组，求出的值，从而求出的值，即可求解．
【解答】
解：抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的解析式是，
由
得：，
，
的纵坐标为．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点，，都在抛物线上，点在点左侧，
若，则，故选项A、均不符合题意；
若，则，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
故选：．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当时，、、的大小关系或当时，、、的大小关系．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，两点之间的距离，等边三角形的性质．
根据二次函数的性质得出，的坐标，顶点坐标，对称轴，开口方向，再根据等边三角形的性质得出，再根据两点之间的距离公式得出方程，即可解答．
【解答】
解：
则函数与轴交点坐标为，，对称轴为直线，顶点坐标
则
时，随的增大而减小
函数开口向上
为等边三角形
  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为是本题的关键．由表可知，抛物线的对称轴为，再对称即可求得时的值．
【解答】
解：设二次函数的解析式为，

当或时，，
抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知与对称，
当时，．
故选A．

 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到范围内的最小值．

【解答】

解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
当时，时，取得最小值，此时，
即范围内的最小值是．

14.【答案】 

【解析】解：由，得：，
，
代入得：，
当时，，
；
故答案为：．
由已知等式表示出，代入中利用二次函数最值即可确定出范围．
此题考查了非负数的性质，用一个未知数表示另一个未知数，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
二次函数图象开口向下，
又对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
，
，
自变量分别取，，时，所对应的函数值最大，最小，
．
故答案为：．
根据二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线，然后利用增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增减性，理解各点距离对称轴的远近是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：抛物线，
顶点的坐标为，
当点在点的下方时，，
的坐标为，
当点在点的上方时，，
的坐标为，
故答案为或．
根据抛物线的性质可得顶点坐标，再分两种情况当点在点的下方时；当点在点的上方时，分别计算即可求解．
本题属于新定义题型，考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：．
其中，，．

当时，．

当时，

即，

解得或．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：抛物线与轴正半轴分别交于点，
点，，
，
点，
，
或舍去，
抛物线解析式为：，
，
顶点的坐标为；
，
对称轴为直线，
点，为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，
点的横坐标为或，点的横坐标为，
点坐标为或，点坐标，
点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，
当，在对称轴的同侧时，，
当，在对称轴的两侧时，，
点的纵坐标的取值范围为：或． 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
先求出点，点坐标，代入解析式可求的值，即可求解；
先求出点，点坐标，即可求解．
 

19.【答案】解：抛物线经过点，，

解得

抛物线的解析式为．

．

．

 
理由：，，

的中点的坐标为，其关于轴的对称点的坐标为．

连接与轴交于点，则最小，且最小值为．

【解析】见答案
 

20.【答案】解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点在轴上，
，
解得或，
抛物线为或；
抛物线的对称轴为直线，
则关于对称点的坐标为，
当，时，；
当，或时， 

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
把解析式化成顶点式即可求得；
根据顶点在轴上得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得抛物线的解析式；
根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的性质写出的取值．
 

21.【答案】解：，
二次函数图象的顶点坐标为：
当时，，．
如图，当时，，，
，
当时，，
解得：或，
，，
因为，且，由图象，得：  
当时，自变量的取值范围：，
如果满足且时的自变量的取值范围内恰有一个整数，
，
当时，，
解得，
当时，，即，，
的取值范围是： 

【解析】利用配方法求二次函数的顶点坐标；
把代入，画图象，并求与轴交点、、三点的坐标，根据图象可得结论；
根据题意结合图象可知，把代入，当时，即可求得的取值；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．
 

22.【答案】解：设，
，
，
方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个；
当时，，
抛物线不经过点，
把点，分别代入得，
，
解得，
抛物线解析式为；
当时
，
，
，
相加得：
，
． 

【解析】本题考查了二次函数图象性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
当时，，所以抛物线过、两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
把代入，用、表示，由的范围结合可解．