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人教版(2024)九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质教案
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这是一份人教版(2024)九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质教案,共47页。
22.1.1 二次函数 课时目标1.从实际情景中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式.2.通过回顾函数的相关知识,结合实际问题,观察二次函数关系式特点,从而引出二次函数的概念,本节课要求学生掌握二次函数的判断方法及注意事项.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点二次函数的概念和解析式. 学习难点用数学的方法描述变量之间的数量关系. 课时活动设计知识回顾多媒体展示:请同学们回顾函数的相关知识,回答下面问题.1.什么叫函数?答:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.2.目前,我们已经学习了哪些类型的函数?答:我们已经学过正比例函数和一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊形式. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示问题:如图,从喷头喷出的水珠,在空中划过一条曲线后落到水池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系呢?(引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.)我们这一节课就来研究这一类问题. 设计意图:从学生熟悉的生活事物中提出问题、设置悬疑,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见,体验如何用数学来解决生活中的实际问题.探究新知多媒体展示:问题1 正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为 y=6x2 .① 问题2 n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系?解:每队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=12n(n-1),即m=12n2-12n.②问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示?解:这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.③结合一次函数的定义,观察函数①②③你发现它们的结构有什么相同点?答:等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. 设计意图:通过实际问题,让学生列二次函数关系式,观察关系式的结构,引导学生归纳二次函数的特征,进而引出本节所学内容.新知讲解师生活动:先由学生尝试归纳总结二次函数的概念,再由教师用多媒体展示.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的特殊形式:(1)当b=0时,y=ax2+c.(2)当c=0时,y=ax2+bx.(3)当b=0,c=0时,y=ax2.请同学们谈谈对二次函数的理解以及需要注意的内容,教师总结:(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.(2)a,b,c为常数,且a不等于0.(3)等式的右边自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(4)一般情况下,自变量x的取值范围是任意实数. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,结合一次函数的概念概括二次函数的概念,培养学生抽象概括的能力.再通过提问环节,引导学生初步思考、回顾已有的知识,主动参与到本节的学习中来.典例精讲例1 下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?请说明理由.(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=x+1x;(3)s=3-2t2;(4)y=1x2-x;(5)y=(x+3)2-x2;(6)v=10πr2;(7)y=x2+x3+25;(8)y=22+2x.答:(1)是.(2)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(3)是.(4)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(5)不是,整理后为一次函数.(6)是.(7)不是,自变量最高次数为3.(8)不是,自变量最高次数为1.例2 关于x的函数y=(m+1)xm2-m是二次函数,求m的值.解:由二次函数的定义,得m2-m=2,m+1≠0.解得m=2.因此当m=2时,函数y=(m+1)xm2-m为二次函数.注意:二次函数的二次项系数不能为0.师生活动:学生积极回答,然后师生共同纠错,使学生明确自己的错误与薄弱环节,在后续的解题过程中做到有的放矢,对症下药. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性,加深学生对二次函数的理解与掌握.拓展应用1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( C ) A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+1x22.一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为 y=x(15-x) . 3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,求m的值.解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0,解得m=0或m=1,又∵m-1≠0即m≠1,∴当m=0时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m1≠0,m2≠1,∴当m≠0或m≠1时,这个函数是二次函数. 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,将知识灵活应用,提高自身解题能力.巩固训练1.下列函数中(x是自变量),是二次函数的为( C )A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1C.y=x2 D.y=22+x+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( C )A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数3.一个圆柱的高等于它的底面半径,它的表面积S与半径r之间的关系式为 S=4πr2 . 4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式为 d=12n2-32n . 5.当m为何值时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数.解:由二次函数的概念,得m2-5m+6=2m-4≠0解得m=1.∴当m=1时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数. 设计意图:通过配套练习,加深学生对二次函数的理解.课堂小结1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项.2.二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式;②未知数最高次数为2;③二次项系数不为0. 设计意图:通过小结让学生复述本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.课堂8分钟.1.教材第29页练习第1,2题.2.七彩作业.22.1.1 二次函数 一般地,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 教学反思 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课时目标1.通过回顾描点法画函数图象的方法,尝试用描点法画二次函数图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质.2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质,会利用其解决相关问题.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识. 学习重点利用描点法画出y=ax2的图象. 学习难点理解并掌握二次函数的性质. 课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:1.函数有哪几种表示方式?图象法有什么特点?解:图象法,列表法,解析式法,图象法能直观表示函数的变化情况.2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤?解:列表-描点-连线.3.简述描点法作图的一般步骤:解:(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;(2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线依次连接所描的点,并向两端无限延伸. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示图片和问题:(1)你们喜欢打篮球吗?(2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线吗?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 设计意图:以学生热爱的篮球运动导入本节课,既能激起学生的兴趣,更好地调动学生的积极性,又能通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望;用类比的学习方法降低本节的难度.探究新知师生活动:学生尝试用描点法画y=x2的图象,教师用多媒体展示画图过程.尝试用描点法画y=x2的图象.【列表】在y=x2中,自变量x可以取任意实数,列表取几组对应值: 【描点】根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2的图象.师生活动:教师通过提问总结y=x2图象的特征.y=x2的图象是一条开口向上的曲线,经过原点,对称轴是y轴,抛物线y=x2与它的对称轴的交点坐标(0,0),观察图象,当二次函数的x=0时,y有最小值为0;当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.多媒体展示,作出函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象.通过对比函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,发现:(1)开口都向上(a>0),对称轴都是y轴;(2)当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大;(3)顶点是原点(最小值);(4)a的值越大,抛物线开口越小.多媒体展示,作出函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象.通过对比函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,发现:(1)开口都向下(a<0),对称轴都是y轴;(2)当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小;(3)顶点是原点(最大值);(4)a的值越大,抛物线开口越大. 设计意图:通过学生操作,教师引导的方式使学生掌握二次函数y=x2的画图方法,初步认识二次函数的图象,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念;通过多媒体展示描点法画二次函数的具体过程,比较函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,引导学生总结二次函数图象的特征.培养学生的动手操作能力,观察分析能力.新知讲解多媒体展示二次函数y=ax2的性质.一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) . (1)当a>0时,抛物线的开口向 上 ,顶点是抛物线的最 低 点, 当x<0时,y随x的增大而 减小 ; 当x>0时,y随x的增大而 增大 ; 当x=0时,y有最 小 值为 0 . (2)当a<0时,抛物线的开口向 下 ,顶点是抛物线的最 高 点, 当x<0时,y随x的增大而 增大 ; 当x>0时,y随x的增大而 减小 ; 当x=0时,y有最 大 值为 0 . (3)|a|越大,抛物线的开口 越小 . (4)y=ax2与y=-ax2关于 x 轴对称. 设计意图:归纳二次函数y=ax2的图象特征和性质,帮助学生梳理知识脉络.典例精讲典例1 已知点(-1, 2)在二次函数y=ax2的图象上,那么a的值是( B ) A.1 B.2 C.12 D.-12变式1-1 如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是( A )A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1变式1-2 已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则( C )A.y11 . 变式1-4 如图所示,四个二次函数的图象分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系为 a>b>d>c . 设计意图:通过配套例题,举一反三,进而消化本节所学内容.拓展应用1.已知抛物线y=ax2(a>0)过点A(-2,y1),B(1,y2),则下列关系式一定正确的是( C )A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>02.已知二次函数y=x2,当x≥m时,y最小值为0,求实数m的取值范围.解:在二次函数y=x2中,a=1>0因此当x=0时,y有最小值.∵当x≥m时,y最小值=0,∴m≤0.3.已知y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.解:依题意,有m+1>0,①m2+m=2,②解②,得m1=-2,m2=1.由①,得m>-1.因此m=1.此时,二次函数解析式为y=2x2.4.已知二次函数y=2x2.(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1 < y2;(填“>”“=”或“<”) (2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形ABCD的顶点A,B在x轴上,C,D恰好在二次函数的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面积之和.解:∵二次函数y=2x2的图象经过点C,∴当x=2时,y=2×22=8.∴点C坐标为(2,8).∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它们的对称轴,∴OA=OB=2,∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边对应空白部分面积,∴S阴影=2×8=16. 设计意图:本环节主要是对本节所学知识展开变式练习,检查学生上课掌握的情况.对课内所学知识进行巩固,增强学生的应变能力.课堂小结 设计意图:通过小结回顾本节学习的内容,帮助学生归纳、巩固所学知识.随堂小测1.函数y=2x2的图象开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 . 2.函数y=-3x2的图象开口 向下 ,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 . 3.如右图,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是 k>1 . 设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,对知识点查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第32页练习.2.七彩作业.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 教学反思 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课时目标1.尝试用描点法画二次函数y=ax2+k图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=ax2+k的性质.2.知道抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+k之间的区别与联系,掌握抛物线y=ax2平移到y=ax2+k的过程.3.应用函数y=ax2+k的图象和性质解决问题.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的区别与联系. 学习难点理解并掌握抛物线y=ax2+k的性质,并且运用性质解决问题. 课时活动设计知识回顾多媒体展示问题一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) . (1)当a>0时,抛物线的开口向 上 ,顶点是抛物线的最 低 点, 当x<0时,y随x的增大而 减小 ; 当x>0时,y随x的增大而 增大 ; 当x=0时,y有最 小 值为 0 . (2)当a<0时,抛物线的开口向 下 ,顶点是抛物线的最 高 点, 当x<0时,y随x的增大而 增大 ; 当x>0时,y随x的增大而 减小 ; 当x=0时,y有最 大 值为 0 . (3)|a|越大,抛物线的开口 越小 . (4)y=ax2与y=-ax2关于 x 轴对称. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示图片,思考函数的图象如何画出来. 设计意图:以人们常见的拱桥导入,激起学生的兴趣,调动学生的积极性.让学生亲身体会到现实生活中的数学知识,理解数学起源于生活.通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望.探究新知师生活动:学生尝试用描点法画出y=2x2+1和y=2x2-1的图象,教师用多媒体展示画图过程.通过描点法画出y=2x2+1和y=2x2-1的图象.先列表: 根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.用平滑曲线顺次连接各点,得到y=2x2+1和y=2x2-1的图象.师生活动:教师通过提问,总结y=2x2+1和y=2x2-1图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 学生尝试说明抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2之间的关系.教师用多媒体展示结果. 设计意图:让学生合作探究,通过观察,发现,归纳,总结出抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2的关系,培养学生抽象概括的能力.再通过提问,让学生积极参与到本节的学习中来.新知讲解多媒体展示抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2,教师引导学生进行总结.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系?解:若k>0,抛物线y=ax2向上平移k个单位就得到抛物线y=ax2+k;若k<0,抛物线y=ax2向下平移|k|个单位就得到抛物线y=ax2+k.学生尝试总结y=ax2+k的性质,教师用多媒体展示. 设计意图:通过归纳总结,让学生理解知识,使学生明确本节的内容,进而达到教学目标.典例精讲例1 已知二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数的值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为 c . 例2 抛物线y=-2x2+3的顶点坐标是 (0,3) ,对称轴是 y轴 ,在 对称轴左 侧,y随着x的增大而增大;在 对称轴右 侧,y随着x的增大而减小. 设计意图:通过例题,加深学生对新知识的理解和掌握,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大,则m= 2 . 2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2),则a= -2 . 3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,A(-2,0),与y轴交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是 8 . 4.将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象的函数表达式是 y=x2+2 . 设计意图:体会知识的不同考法.灵活应用所学知识,提高解题能力.课堂小结 设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆.随堂小测1.抛物线y=2x2向下平移4个单位,得到抛物线 y=2x2-4 . 2.填表: 3.已知点(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上,点(-m,n) 在 (填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上. 4.若y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k =2 ;若顶点位于x轴上方,则k >2 ;若顶点位于x轴下方,则k <2 . 5.回答下面的问题:(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移能得到抛物线y=-x2.(2)函数y=-x2+1,当x 时,y随x的增大而减小;当x 时,函数y有最大值,最大值y是 ,其图象与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 . (3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向,对称轴和顶点坐标.解:(1)向下平移1个单位.(2)>0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0)(3)开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-3). 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第33页练习.2.七彩作业.22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系2.二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学反思 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课时目标1.尝试用描点法画二次函数y=a(x-h)2图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2的性质.2.理解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的区别与联系,掌握抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的平移规律.3.应用函数y=a(x-h)2的图象和性质解决问题,培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象之间的区别与联系. 学习难点理解并掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质,并运用性质解决问题. 课时活动设计知识回顾多媒体展示:问题1 说出二次函数y=ax2+k图象的特征.多媒体展示答案. 问题2 二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有什么关系?答:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到.当k>0时,向上平移|k|个单位长度得到;当k<0时,向下平移|k|个单位长度得到. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节的学习内容作铺垫.导入新课多媒体展示问题:函数y=-12(x+1)2的图象,能否也可以由函数y=12x2平移得到? 设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.探究新知学生尝试用描点法画出y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象,教师通过多媒体展示画图过程.通过描点法画出y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象.【列表】 【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象.学生尝试总结y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,教师通过多媒体展示答案. 学生讨论抛物线y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2与抛物线y=-12x2的关系,教师通过多媒体展示答案.抛物线y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2与抛物线y=-12x2有什么关系? 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,总结抛物线y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2与抛物线y=-12x2的关系,培养学生的概括能力.再通过提问环节,让学生积极参与到本节的学习中来.新知讲解学生讨论后尝试总结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的关系,教师通过多媒体展示.抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系?(1)若h>0,可以看做由函数y=ax2的图象向右平移h个单位得到抛物线y=a(x-h)2;(2)若h<0,可以看做由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2;(3)抛物线y=a(x-h)2相当于把抛物线y=ax2 向右 (h>0)或 向左 (h<0)平移 |h| 个单位. 学生尝试总结y=a(x-h)2的性质,教师通过多媒体展示. 设计意图:归纳总结,梳理所学知识,使学生明确本节的内容,进而达成教学目标.典例精讲例1 若抛物线y=3(x+2)2上的三个点为A(-32,y1),B(-1,y2),C(0,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 .(用“<”号连接) 解:∵抛物线y=3(x+2)2的对称轴为x=-2,a=3>0,开口向上,∴当x<-2时,即在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;当x>-2时,即在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.∵点A的坐标为(-32,y1),∴点A在抛物线上关于x=-2的对称点A'的坐标为(32,y1).又∵-1<0<2,∴y2y2>y3 .(用“>”号连接) 3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 设计意图:本环节是对所学知识点的应用,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.课堂小结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系?(1)若h>0,抛物线y=ax2向右平移h个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2;(2)若h<0,抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2.抛物线y=a(x-h)2相当于把抛物线y=ax2 向右 (h>0)或 向左 (h<0)平移|h|个单位. 二次函数y=a(x-h)2(a>0)的图象性质 设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆.随堂小测1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>-3时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是( B ) A.-1 B.-9 C.1 D.92.将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是( C )A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度3.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 . 4.二次函数y=2x-322图象的对称轴是直线 x=32 ,顶点是 32,0 . 5.在同一坐标系中,画出函数y=2x2与y=2(x-2)2的图象,指出两个图象之间的关系.解:如图所示.函数y=2(x-2)2的图象是由函数y=2x2的图象向右平移2个单位长度得到. 设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,以突出本节的重点,达到查漏补缺的目的.课堂8分钟.1.教材第35页练习.2.七彩作业.第2课时 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的关系抛物线y=a(x-h)2的图象和性质 教学反思 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课时目标1.尝试用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2+k的性质,通过二次函数图象整理平移规律.2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系,掌握抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的平移规律.3.应用函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决问题.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. 学习难点抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的平移规律. 课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢?抛物线y=a(x-h)2又是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢?多媒体展示答案. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节的内容作铺垫.导入新课多媒体展示问题:函数y=a(x-h)2+k的图象,能否也可以由函数y=ax2的图象平移得到? 设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.探究新知教师引导学生尝试用描点法画出y=-12(x+1)2-1的图象,然后通过多媒体展示画图过程.【列表】 【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=-12(x+1)2-1图象.学生通过观察上述抛物线,指出它的开口方向,对称轴和顶点坐标.教师通过多媒体展示答案. 师生活动:教师提问抛物线y=-12(x+1)2-1如何由抛物线y=-12x2平移得到,学生进行回答.第一种方法:将抛物线y=-12x2向左平移一个单位得到y=-12(x+1)2,再向下平移一个单位得到y=-12(x+1)2-1.第二种方法:将抛物线y=-12x2向下平移一个单位得到y=-12x2-1,再向左平移一个单位得到y=-12(x+1)2-1.练习:抛物线y=-12x2如何通过平移得到以下4个抛物线.多媒体展示解:将抛物线y=-12x2向上平移一个单位,得到y=-12x2+1;将抛物线y=-12x2向左平移一个单位,得到y=-12(x+1)2;将抛物线y=-12x2向右平移一个单位,得到y=-12(x-1)2;将抛物线y=-12x2向下平移一个单位,得到y=-12x2-1. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,总结抛物线y=-12(x±1)2和y=-12x2±1与抛物线y=-12x2的关系,培养学生概括的能力.再通过提问环节,让学生积极参与到本节的学习中来.新知讲解师生总结抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的关系:两者可以左右互相平移|h|个单位,上下互相平移|k|个单位得到.多媒体展示过程.师生总结抛物线的平移步骤,通过多媒体展示答案.平移步骤:(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k);(2)保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处.具体平移方法如下:教师引导学生尝试总结y=a(x-h)2+k的性质,并通过多媒体展示答案. 设计意图:归纳总结,让学生梳理知识,使学生明确本节的内容,进而达成教学目标.典例精讲典例1 填表. 典例2 已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的,则a= -2 ,h= 1 ,k= 3 . 设计意图:通过例题讲解,让学生感受数学知识间的关联性,加深学生对新学知识的理解与掌握.拓展应用1.抛物线y=3(x-1)2+1的顶点坐标是( A )A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,-1)2.在同一坐标系内,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是( C )3.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为 y=-5(x+1)2-1 . 设计意图:让学生体会知识的不同考法.对知识灵活应用,提高解题能力.课堂小结(1)本节主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法?(2)本节还有哪些疑惑? 设计意图:通过小结,学生总结本节所学知识,巩固本节所学内容.随堂小测1.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( A )2.完成下表. 3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线为 y=-3(x-2)2+3 . 4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象 先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 得到抛物线y=-3x2. 5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由抛物线y=5x2平移得到,请直接写出该二次函数的解析式.解:该二次函数的解析式为y=5(x+1)2+3. 设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,达到查漏补缺的目的.课堂8分钟.1.教材第37页练习.2.七彩作业.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2有什么关系抛物线y=a(x-h)2+k的图象和性质 教学反思 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课时目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.根据二次函数的图象和性质,进而总结二次函数图象与各项系数之间的关系.2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点通过图象,观察抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质. 学习难点通过图象,观察抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质. 课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:1.二次函数y=2(x+5)2-3的图象是 抛物线 ,它的开口向 上 ,顶点坐标是 (-5,-3) ;对称轴是 x=-5 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ,x= -5 时,取最 小 值,其最 小 值是 -3 . 2.回顾完全平方公式和配方的步骤.解:(1)“提”:提出二次项系数;(2)“配”:括号内配成完全平方;(3)“化”:化成顶点式. 设计意图:学生回顾二次函数的顶点式,为本节学习降低难度.导入新课对于前面学习的函数,从解析式中可以直接看出其顶点坐标.我们把形如y=a(x-h)2+k的解析式称为顶点式.对于y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0),我们称为一般式.今天我们就来研究一般式的图象和性质. 设计意图:让学生清楚二次函数顶点式的形式和利用二次函数顶点式的便捷性,同时了解一般式,比较两种解析式形式的差别.经过此环节,激发学生参与课堂教学的热情,使学生进入问题情境.探索新知师生尝试总结抛物线y=12x2是如何通过平移得到抛物线y=12x2-6x+21的,并用多媒体展示如何画出抛物线y=12x2-6x+21的图象.通过描点法画出y=12x2-6x+21的图象.【列表】 【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=12x2-6x+21的图象.教师总结画y=ax2+bx+c图象的基本步骤:(1)利用配方法或公式法把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式.(2)确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(3)在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图.学生讨论二次函数y=-2x2-4x+1有什么样的性质.先将y=-2x2-4x+1化为y=a(x-h)2+k的形式得y=-2(x+1)2+3,则开口向下,对称轴x=-1,顶点坐标(-1,3).当x<-1,y随x的增大而增大,当x>-1,y随x的增大而减小,当x=-1,y有最大值为3.教师通过多媒体展示如何求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.y=ax2+bx+c=ax2+bax+ca=ax2+bax+b24a2-b24a2+ca=ax2+bax+b24a2-b24a2+4ac4a2=ax+b2a2+4ac-b24a 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-b2a,顶点坐标为-b2a,4ac-b24a 设计意图:将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,利用二次函数各项系数表示二次函数的对称轴和顶点坐标,让学生动笔尝试,合作交流,展示成果,既学习了知识,又激发了学生学习的积极性.新知讲解教师引导学生总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质,然后利用多媒体进行展示. 设计意图:根据二次函数的图象,引导学生归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.通过多媒体将抽象的内容形象化,加深学生对其性质的理解与掌握.典例精讲例 二次函数y=x2+2x-3的开口方向,顶点坐标分别是( A )A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4)方法点拨:把函数的一般式化为顶点式,再由顶点式确定开口方向,对称轴,顶点等. 设计意图:通过例题讲解,加深学生对新知识的理解与掌握.拓展应用1.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则( B ) A.b=2,c=6 B.b=-6,c=6C.b=-8,c=18 D.b=-8,c=182.已知二次函数y=-x2+2mx,以下点可能成为二次函数顶点的是( A ).A.(-2,4) B.(1,2) C.(-1,-1) D.(2,-4)3.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是( C )4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)20,∴二次函数y=2x2-8x+1有最小值.当x=-b2a=84=2时,y最小=-7. 设计意图:让学生体会知识的不同考法.灵活运用新知,提高解题能力.课堂小结你掌握了哪些知识,学会了哪些方法,还有什么困惑? 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系 设计意图:学生总结,自由发表学习心得,培养学生的语言表达能力和归纳概括能力.巩固训练1.已知二次函数y=x2-2x+1,那么它的图象大致为( B )2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),32,y2是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的是( B )A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④3.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 14 时,y有最大值 -318 . 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当x=-1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的是 ② . 5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.(1)y=2x2-12x+13;(2)y=-5x2+80x-319;(3)y=2x-12x-2;(4)y=x+12-x.解:(1)直线x=3,(3,-5).(2)直线x=8,(8,1).(3)直线x=1.25,54,-98.(4)直线x=0.5,12,94. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第39页练习.2.七彩作业. 教学反思 *第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课时目标1.会用待定系数法求二次函数的解析式,能灵活的根据条件选择解析式形式.2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点用待定系数法求二次函数解析式. 学习难点根据条件选择解析式形式,体会二次函数不同形式解析式之间的转化. 课时活动设计知识回顾多媒体展示. 设计意图:学生回顾之前所学知识,巩固旧知识,引出新知识.导入新课我们用待定系数法可以确定一次函数的解析式,那么对于二次函数,可以用待定系数法吗? 设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点.探究新知教师引导学生回顾求一次函数解析式的步骤.(1)设解析式.(2)将坐标代入解析式,解二元一次方程组,得出系数.(3)将系数反代回所设的解析式中,写出解析式.多媒体展示问题:已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式.师生活动:学生演算,教师通过多媒体展示解题过程.解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),∴k+b=3,-2k+b=-12,解得k=5,b=-2.∴一次函数的解析式为y=5x-2.教师通过用待定系数法求一次函数解析式,引导学生发现用待定系数法求二次函数解析式的关键是确定系数a,b,c的值.教师:我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数,由几个点的坐标可以确定二次函数?下面我们尝试求一下二次函数的解析式.多媒体展示问题已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),求这个函数的解析式.教师引导学生回答解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,得a-b+c=10,a+b+c=4.师生活动:尝试求一下二次函数的解析式,教师用多媒体展示.已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),(2,7),求这个函数的解析式.解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知,得a-b+c=10,a+b+c=4,4a+2b+c=7.该如何解这个方程组呢?教师引导学生独立解答,再用多媒体展示解题过程.由已知,得a-b+c=10,①a+b+c=4,②4a+2b+c=7.③由②-①,可得2b=-6⇨b=-3.由③-①,可得3a+3b=-3⇨a+b=-1⇨a=2.将a=2,b=-3代入①,可得2+3+c=10⇨c=5.∴解方程组得a=2,b=-3,c=5.∴二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.总结:知道三个点的坐标可以将解析式设为一般式,然后将坐标代入一般式组成三元一次方程组从而求出系数,得到函数解析式. 设计意图:运用类比的思想方法,让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,理解本节学习的知识.典例精讲例1 已知二次函数的图象经过原点,且当x=1时,y有最小值-1,求这个二次函数的解析式.解:∵由已知得二次函数顶点坐标为(1,-1),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-1.∵二次函数的图象经过原点(0,0)∴0=a-1,解得a=1,∴二次函数解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x.例2 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1,且与y轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式.解:(方法1)设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c.∵图象经过点(-3,0),(1,0),(0,-3).∴9a-3b+c=0,a+b+c=0,c=-3,解得a=1,b=2,c=-3.∴这个二次函数解析式为y=x2+2x-3.(方法2)∵图象与x轴交于点(1,0),(-3,0),∴设函数解析式为y=a(x-1)(x+3).∵图象过点(0,-3),∴-3=a(0-1)(0+3),解得a=1.∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.教师:两种方法的结果一样吗?两种方法哪一个更简便?师生活动,学生通过计算对比,发现方法1更简便,得出用交点式求函数表达式的一般方法. 设计意图:通过例题讲解,拓展顶点式和交点式,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.巩固训练1.已知一个二次函数的图象过A(-1,0),B(4,5),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.解:设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c.∵图象经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).∴a-b+c=0,16a+4b+c=5,c=-3,解得a=1,b=-2,c=-3.∴这个二次函数解析式为y=x2-2x-3.2.已知抛物线顶点为(1,-4),且过点(2,-3),求其解析式.解:∵抛物线顶点为(1,-4),∴设其解析式为y=a(x-1)2-4.又∵抛物线过点(2,-3),则-3=a(2-1)2-4,则a=1.∴其解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0),与y轴交于点C(0,3),求这个二次函数的解析式.解:∵图象与x轴交于A(1,0),B(3,0),∴设函数解析式为y=a(x-1)(x-3).∵图象过点C(0,3),∴3=a(0-1)(0-3),解得a=1.∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 设计意图:通过对应练习题,巩固新学知识,根据学生做题的熟练程度检查学生的掌握情况.课堂小结 设计意图:通过小结让学生进一步熟悉求二次函数解析式的方法,让学生通过回顾总结,巩固新知.随堂小测1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( D )A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-22.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 y=-7x2+42x-59 . 3.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,C的坐标分别是(8,0),(0,4),求这个抛物线的解析式.解:由抛物线过A(8,0)及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),∵抛物线过点(0,4),∴4=-16a,a=-14.∴这个抛物线的解析式为y=-14(x+2)(x-8).∴抛物线解析式为y=-14x2+32x+4.4.已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8,求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0),(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16),∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第40页练习第1,2题.2.七彩作业.※第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式.(2)顶点式.(3)两根式. 教学反思 x…-2-1012…y…41014…抛物线y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)顶点坐标(0,0)(0,0)对称轴y轴y轴位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)开口方向向上向下增减性当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小最值当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0x…-2-1012…y=2x2+1…93139…y=2x2-1…71-117…开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上y轴(0,1)y=2x2-1向上y轴(0,-1)函数开口方向顶点对称轴有最高(低)点y=3x2 向上 (0,0) y轴 有最低点 y=3x2+1 向上 (0,1) y轴 有最低点 y=-4x2-5 向下 (0,-5) y轴 有最高点 a,k的符号a>0,k>0a>0,k<0a<0,k>0a<0,k<0图象开口方向向上向下对称轴y轴(直线x=0)y轴(直线x=0)顶点坐标(0,k)(0,k)增减性当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小最值x=0时,y最小值=kx=0时,y最大值=kx…-4-3-2-1012…y=-12(x+1)2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…y=-12(x-1)2…-12.5-8-4.5-2-0.50-0.5…开口方向对称轴顶点坐标y=-12(x+1)2向下x=-1(-1,0)y=-12x2向下x=0(0,0)y=-12(x-1)2向下x=1(1,0)开口方向对称轴顶点坐标y=2(x-3)2 向上 直线x=3 (3,0) y=2(x-2)2 向上 直线x=2 (2,0) y=-34(x-1)2 向下 直线x=1 (1,0) 抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y=a(x-h)2(a>0)向上x=h(h,0)当x=h时,y最小值=0当x>h时,y随x的增大面增大;当x0上移y=ax2+k顶点在y轴上,(0,k)对称轴为y轴k<0下移y=ax2h<0左移y=a(x-h)2顶点在x轴上,(h,0)对称轴为直线x=hh>0右移x…-4-3-2-1012…y=-12(x+1)2-1…-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5…开口方向对称轴顶点坐标y=-12(x+1)2-1向下x=-1(-1,-1)抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5 上 x=-3 (-3,5) y=-3(x-1)2-2 下 x=1 (1,-2) y=4x2+7 上 x=0(y轴) (0,7) y=-5(x+2)2 下 x=-2 (-2,0) 抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5 向上 直线x=-3 (-3,5) y=-3(x-1)2-2 向下 直线x=1 (1,-2) y=4(x-3)2+7 向上 直线x=3 (3,7) y=-5(2-x)2-6 向下 直线x=2 (2,-6) x…45678…y=12x2-6x+21=12(x-6)2+3…53.533.55…相同点形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同)都是轴对称图形都有最大(小)值a>0时,开口向上在对称轴左侧,y都随x的增大而减小;在对称轴右侧,y都随x的增大而增大a<0时,开口向下在对称轴左侧,y都随x的增大而增大;在对称轴右侧,y都随x的增大而减小不同点顶点不同,分别是-b2a,4ac-b24a和(0,0)对称轴不同,分别是直线x=-b2a和y轴最值不同,分别是4ac-b24a和0函数开口方向对称轴顶点坐标最值y=ax2(a≠0)a>0,开口向上;a<0,开口向下直线x=0(y轴)(0,0)a>0 最小值0a<0 最大值0y=ax2+k(a≠0)直线x=0(y轴)(0,k)a>0 最小值ka<0 最大值ky=a(x-h)2(a≠0)直线x=h(h,0)a>0 最小值0a<0 最大值0y=a(x-h)2+k(a≠0)直线x=h(h,k)a>0 最小值ka<0 最大值ky=ax2+bx+c(a≠0)直线x=-b2a-b2a,4ac-b24aa>0 最小值4ac-b24aa<0 最大值4ac-b24a
22.1.1 二次函数 课时目标1.从实际情景中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式.2.通过回顾函数的相关知识,结合实际问题,观察二次函数关系式特点,从而引出二次函数的概念,本节课要求学生掌握二次函数的判断方法及注意事项.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点二次函数的概念和解析式. 学习难点用数学的方法描述变量之间的数量关系. 课时活动设计知识回顾多媒体展示:请同学们回顾函数的相关知识,回答下面问题.1.什么叫函数?答:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.2.目前,我们已经学习了哪些类型的函数?答:我们已经学过正比例函数和一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊形式. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示问题:如图,从喷头喷出的水珠,在空中划过一条曲线后落到水池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系呢?(引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.)我们这一节课就来研究这一类问题. 设计意图:从学生熟悉的生活事物中提出问题、设置悬疑,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见,体验如何用数学来解决生活中的实际问题.探究新知多媒体展示:问题1 正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为 y=6x2 .① 问题2 n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系?解:每队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=12n(n-1),即m=12n2-12n.②问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示?解:这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.③结合一次函数的定义,观察函数①②③你发现它们的结构有什么相同点?答:等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. 设计意图:通过实际问题,让学生列二次函数关系式,观察关系式的结构,引导学生归纳二次函数的特征,进而引出本节所学内容.新知讲解师生活动:先由学生尝试归纳总结二次函数的概念,再由教师用多媒体展示.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的特殊形式:(1)当b=0时,y=ax2+c.(2)当c=0时,y=ax2+bx.(3)当b=0,c=0时,y=ax2.请同学们谈谈对二次函数的理解以及需要注意的内容,教师总结:(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.(2)a,b,c为常数,且a不等于0.(3)等式的右边自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(4)一般情况下,自变量x的取值范围是任意实数. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,结合一次函数的概念概括二次函数的概念,培养学生抽象概括的能力.再通过提问环节,引导学生初步思考、回顾已有的知识,主动参与到本节的学习中来.典例精讲例1 下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?请说明理由.(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=x+1x;(3)s=3-2t2;(4)y=1x2-x;(5)y=(x+3)2-x2;(6)v=10πr2;(7)y=x2+x3+25;(8)y=22+2x.答:(1)是.(2)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(3)是.(4)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(5)不是,整理后为一次函数.(6)是.(7)不是,自变量最高次数为3.(8)不是,自变量最高次数为1.例2 关于x的函数y=(m+1)xm2-m是二次函数,求m的值.解:由二次函数的定义,得m2-m=2,m+1≠0.解得m=2.因此当m=2时,函数y=(m+1)xm2-m为二次函数.注意:二次函数的二次项系数不能为0.师生活动:学生积极回答,然后师生共同纠错,使学生明确自己的错误与薄弱环节,在后续的解题过程中做到有的放矢,对症下药. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性,加深学生对二次函数的理解与掌握.拓展应用1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( C ) A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+1x22.一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为 y=x(15-x) . 3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,求m的值.解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0,解得m=0或m=1,又∵m-1≠0即m≠1,∴当m=0时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m1≠0,m2≠1,∴当m≠0或m≠1时,这个函数是二次函数. 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,将知识灵活应用,提高自身解题能力.巩固训练1.下列函数中(x是自变量),是二次函数的为( C )A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1C.y=x2 D.y=22+x+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( C )A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数3.一个圆柱的高等于它的底面半径,它的表面积S与半径r之间的关系式为 S=4πr2 . 4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式为 d=12n2-32n . 5.当m为何值时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数.解:由二次函数的概念,得m2-5m+6=2m-4≠0解得m=1.∴当m=1时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数. 设计意图:通过配套练习,加深学生对二次函数的理解.课堂小结1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项.2.二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式;②未知数最高次数为2;③二次项系数不为0. 设计意图:通过小结让学生复述本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.课堂8分钟.1.教材第29页练习第1,2题.2.七彩作业.22.1.1 二次函数 一般地,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 教学反思 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课时目标1.通过回顾描点法画函数图象的方法,尝试用描点法画二次函数图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质.2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质,会利用其解决相关问题.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识. 学习重点利用描点法画出y=ax2的图象. 学习难点理解并掌握二次函数的性质. 课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:1.函数有哪几种表示方式?图象法有什么特点?解:图象法,列表法,解析式法,图象法能直观表示函数的变化情况.2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤?解:列表-描点-连线.3.简述描点法作图的一般步骤:解:(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;(2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线依次连接所描的点,并向两端无限延伸. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示图片和问题:(1)你们喜欢打篮球吗?(2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线吗?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 设计意图:以学生热爱的篮球运动导入本节课,既能激起学生的兴趣,更好地调动学生的积极性,又能通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望;用类比的学习方法降低本节的难度.探究新知师生活动:学生尝试用描点法画y=x2的图象,教师用多媒体展示画图过程.尝试用描点法画y=x2的图象.【列表】在y=x2中,自变量x可以取任意实数,列表取几组对应值: 【描点】根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2的图象.师生活动:教师通过提问总结y=x2图象的特征.y=x2的图象是一条开口向上的曲线,经过原点,对称轴是y轴,抛物线y=x2与它的对称轴的交点坐标(0,0),观察图象,当二次函数的x=0时,y有最小值为0;当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.多媒体展示,作出函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象.通过对比函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,发现:(1)开口都向上(a>0),对称轴都是y轴;(2)当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大;(3)顶点是原点(最小值);(4)a的值越大,抛物线开口越小.多媒体展示,作出函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象.通过对比函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,发现:(1)开口都向下(a<0),对称轴都是y轴;(2)当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小;(3)顶点是原点(最大值);(4)a的值越大,抛物线开口越大. 设计意图:通过学生操作,教师引导的方式使学生掌握二次函数y=x2的画图方法,初步认识二次函数的图象,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念;通过多媒体展示描点法画二次函数的具体过程,比较函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,引导学生总结二次函数图象的特征.培养学生的动手操作能力,观察分析能力.新知讲解多媒体展示二次函数y=ax2的性质.一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) . (1)当a>0时,抛物线的开口向 上 ,顶点是抛物线的最 低 点, 当x<0时,y随x的增大而 减小 ; 当x>0时,y随x的增大而 增大 ; 当x=0时,y有最 小 值为 0 . (2)当a<0时,抛物线的开口向 下 ,顶点是抛物线的最 高 点, 当x<0时,y随x的增大而 增大 ; 当x>0时,y随x的增大而 减小 ; 当x=0时,y有最 大 值为 0 . (3)|a|越大,抛物线的开口 越小 . (4)y=ax2与y=-ax2关于 x 轴对称. 设计意图:归纳二次函数y=ax2的图象特征和性质,帮助学生梳理知识脉络.典例精讲典例1 已知点(-1, 2)在二次函数y=ax2的图象上,那么a的值是( B ) A.1 B.2 C.12 D.-12变式1-1 如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是( A )A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1变式1-2 已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则( C )A.y1
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