21.2解一元二次方程 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）

21.2解一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为，则该菱形的面积为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.
C. 且 D.

3. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

4. 一元二次方程根的判别式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

6. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

7. 关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

9. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是(    )

A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根

10. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

11. 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

12. 已知，是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
14. 若，则          ．
15. 规定：，如：若，则          ．
16. 已知，是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
    若方程有两个实数根，，且，求的值．
18. 已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．
19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

求的取值范围

若，且为整数，求的值．

20. 已知关于的方程．

求证：该方程总有两个不相等的实数根

若该方程有一个根为，求的值．

21. 已知关于的一元二次方程．当时，利用根的判别式判断方程根的情况

若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．

22. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根．

求的值

求此方程的根．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为，然后计算菱形的面积．
【解答】
解：，
所以，，
菱形一条对角线长为，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线为，
菱形的面积．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．求出根的判别式的值再进行判断即可．

【解答】

解：一元二次方程中，
变形为：，
，
所以有两个相等的实数根 ．
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用判别式的定义，计算即可．
本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查菱形的性质，解一元二次方程，解方程求出边的长，用三角形三边关系验证，再求菱形的周长．

【解答】

解：如图所示：

四边形是菱形，

，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
当时，，不能构成三角形
当时，，能构成三角形，
菱形的周长．

6.【答案】 

【解析】解：方程的左边变形为：，
，即或，
解得：或，
则的值为或．
故选：．
把方程左边的第一、三项写出完全平方的形式，根据完全平方公式的特点：两数的平方和加上或减去这两个数积的倍，等于两数和或差的平方，得到第二项为第一、三项平方底数积的倍，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，也考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．同时本题的值有两解，注意不要漏解．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一元一次方程，解为，
当时，关于的方程是一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，
只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．  

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
化简得：，
时满足．
故选：．
由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的一元二次不等式，进而可确定的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】
解：根据的图象可得，，
所以，，
因为，
所以，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式计算可得．
【解答】
解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式



，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程直接开平方法、代数式求值、换元法 ．
先利用直接开平方法求得，然后得到或，最后由，，得出，即可得．
【解答】
解：由，
直接开平方，得，
或，
，，
，
，
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】

【分析】

考查了解一元二次方程一配方法，新定义，用配方法解一元二次方程的步骤：
把原方程化为的形式
方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为，并把常数项移到方程右边
方程两边同时加上一次项系数一半的平方
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数
如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．根据，列出关于的方程，用配方法解方程即可．
 

【解答】

解：依题意得：，
整理，得，
所以，
所以，
所以或．
故答案是：或．

16.【答案】 

【解析】解：，是关于的方程的两个实数根，
，．
，即，
，
整理，得：，
解得：，．
关于的方程的两个不相等实数根，
，
解得：或，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而即可确定值，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．
 

17.【答案】解：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系得出，
由得，
解得． 

【解析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
 

18.【答案】解：解不等式，得，
最小整数解为，
将代入方程，得，
配方，得．
直接开平方，得．
解得，． 

【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
先解不等式，得，所以最小整数解为，于是将代入方程得利用配方法解方程即可．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，即，
解得；
由根与系数的关系知：，，
，满足，
，
，
，
且为整数，
的值为，，． 

【解析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
根据根的判别式，可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
由根与系数的关系，用表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于的不等式，则可求得的取值范围，再求其值即可．
 

20.【答案】解：证明：，
方程总有两个不相等的实数根．

把代入原方程，得，
即，
，，，
，

解得，．

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式．
计算，可得判别式的值为，由此可得结论；
将一个根据代入可得关于的一元二次方程，然后再用求根公式解答即可．
 

21.【答案】解：，，，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根，
，
若，，则方程变形为，
解得取值不唯一． 

【解析】本题主要考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况的思路与方法．
求出根的判别式的值，根据根的判别式的值的情况即可判断方程根的情况；
根据方程有两个相等的实数根，得出，不妨令，，得到方程，解这个方程，即可求解．
 

22.【答案】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，
 ，
解得．

将代入原方程得，
即，
解得．

【解析】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用判别式的意义得到 ，然后解关于的方程；
写出时的方程，然后利用因式分解法解方程即可．