人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步训练题

这是一份人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步训练题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
当a≤x≤a+1时，函数y=x2−2x+1的最小值为4，则a的值为( )
A. −2B. 4C. 4或3D. −2或3
“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at2+bt+c(a≠0,a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟
点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上．则m−n的最大值等于( )
A. 154B. 4C. −154D. −174
已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是( )
A. a≥−2B. a<3C. −2≤a<3D. −2≤a≤3
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
已知二次函数y=x 2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差( )
A. 与m，b，c的值都有关B. 与m，b，c的值都无关
C. 与m，b的值都有关，与c的值无关D. 与b，c的值都有关，与m的值无关
某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线型，一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的表达式为h=30t−5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是 ( )
A. 6 sB. 4 sC. 3 sD. 2 s
关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是( )
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D. y的最小值为−3
已知二次函数y = −x−h2(h为常数)，当自变量x的值满足2 ≤ x ≤ 5时，与其对应的函数值y的最大值为−1，则h的值为( )
A. 3或6B. 1或6C. 1或3D. 4或6
已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )
A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1
C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−2
某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为( )
A. 1米B. 32米C. 2米D. 138米
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有( )
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)与滑行的时间t(单位：秒)之间的函数关系式是s=−1.5t2+60t，飞机着陆后滑行_________秒才能停下来．
如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为________．
一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为95米，出手后铅球离地面的高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为y=−340x2+bx+c，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为______米．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数关系，其每天的销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元)之间的函数表达式;
(2)为保证某天获得600元的销售利润，该天的销售单价应定为多少⋅
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大⋅最大利润是多少⋅
一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？
2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为p=25x+4(0(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额=销售量×销售价格)
某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)设客房的日营业额为w(元).若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？
居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．如图，设花园的一边
AB=x(m)，花园的面积为y(㎡)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能达到200㎡吗？如果能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，得出当y=4时，x的值是解题的关键．
求出当y=4时，x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值4，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：函数y=x2−2x+1=(x−1)2，最低点的坐标为(1,0)，开口向上，
当y=4时，有x2−2x+1=4，
解得：x1=−1，x2=3．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4，
∴a=3或a+1=−1，
∴a=3或a=−2．

2.【答案】C
【解析】解：将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，
9a+3b+c=0.816a+4b+c=0.925a+5b+c=0.6，
解得a=−0.2b=1.5c=−1.9，
所以函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t=−b2a=−1.52×(−0.2)=3.75，
则当t=3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
将图象中的三个点(3,0.8)、(4,0.9)、(5,0.6)代入函数关系p=at2+bt+c中，可得函数关系式为：p=−0.2t2+1.5t−1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
3.【答案】C
【解析】解：∵点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，
∴a=0，
∴n=m2+4，
∴m−n=m−(m2+4)=−m2+m−4=−(m−12)2−154，
∴当m=12时，m−n取得最大值，此时m−n=−154，
故选：C．
根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m−n的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥−2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x>3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．
【解答】
解：∵二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，
∴△=(−2a)2−4×1×(a2−2a−4)≥0
解得：a≥−2；
∵抛物线的对称轴为直线x=−−2a2=a，抛物线开口向上，且当x>3时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是−2≤a≤3．
故选：D．

5.【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，
∴h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，h=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，h=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选B．
由题意，抛物线经过(0,0)，(9,0)，所以可以假设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，可得h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，由此即可一一判断．
本题考查二次函数的应用．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质、最值和分类讨论思想的问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．
先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分当x=−b2m+1，当m≤x=−b2≤m+1三种大情况进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值进而得到结论．
【解答】
解：∵二次函数y=x2+bx+c=(x+b2)2+4c−b24，
∴该抛物线的对称轴为x=−b2，且a=1>0，
当x=−b2函数最大值与最小值的差为m+12+m+1b+c−m2+mb+c=2m+1+b
当x=−b2>m+1，
函数最大值与最小值的差为m2+mb+c−m+12+m+1b+c=−2m−1−b
当m≤x=−b2≤m+1，
当x=m+1是最大值时，函数最大值与最小值的差为m+12+m+1b+c−4c−b24=m+12+m+1b+b24
当x=m是最大值时，函数最大值与最小值的差为m2+mb+c−4c−b24=m2+mb+b24
综上所述，此函数最大值与最小值的差与m，b有关，但与c无关，
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．
由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t−5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
【解答】
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t−5t2，
得5t2−30t=0，
解得t1=0(舍去)，t2=6．
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6 s．
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵y=2x2+4x−1=2(x+1)2−3，
∴当x=0时，y=−1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=−1，故选项B错误，
当x<−1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=−1时，y取得最小值，此时y=−3，故选项D正确．
故选D．
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】D
【解析】解：∵y=x2−4x+2=(x−2)2−2，
∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，有最小值−2，
当x=−1时，有最大值为y=9−2=7．
故选：D．
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由题意可得，抛物线经过点(0,1.5)和(3,0)，
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
c=1.59a+3+c=0，
解得：a=−12c=32，
∴函数表达式为：y=−12x2+x+32，
=−12(x−2)2+2，
∵a<0，故函数有最大值，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
由题意可得，抛物线经过点(0,1.5)和(3,0)，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
12.【答案】A
【解析】解：由图象可知，点(0,0)，(6,0)，(3,40)在抛物线上，顶点为(3,40)，
设函数解析式为h=a(t−3)2+40，
将(0,0)代入得：0=a(0−3)2+40，
解得：a=−409，
∴h=−409(t−3)2+40．
①∵顶点为(3,40)，
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2=80m，故②正确；
③令h=20，则20=−409(t−3)2+40，
解得t=3±322，故③错误；
④令t=2，则h=−409(2−3)2+40=3209m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
由图象可知，点(0,0)，(6,0)，(3,40)在抛物线上，顶点为(3,40)，设函数解析式为h=a(t−3)2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】20
【解析】
【分析】
本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．飞机停下时，也就是滑行最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
【解答】
解：由题意，
s=60t−1.5t2
=−1.5t2+60t
=−1.5(t2−40t+400−400)
=−1.5(t−20)2+600
即当t=20秒时，飞机才能停下来．
故答案为20．

14.【答案】−2+25
【解析】
【分析】
本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
运用待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出点E坐标为(m,4−2m)，将E点坐标代入解析式求出m，即可求解．
【解答】
解：把A(2,4)代入y=ax2中得4=4a，
解得a=1，
∴y=x2，
设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，
∴点E坐标为(m,4−2m)，
∴m2=4−2m，
解得m=−1−5(舍)或m=−1+5．
∴CD=2m=−2+25．
故答案为−2+25．

15.【答案】−5
【解析】
【分析】
本题考查了配方法的应用．解答该题时，利用了配方法求多项式或二次函数的最值是常用方法．将x2+6x+4利用配方法转化为(x+3)2−5，然后根据(x+3)2≥0可得多项式x2+6x+4的最小值．
【解答】
解：∵x2+6x+4=(x+3)2−5，
∴当x=−3时，多项式x2+6x+4取得最小值−5；
故答案为−5．
16.【答案】12
【解析】解：设铅球出手点为点A，根据题意建立平面直角坐标系，如图：

∵当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，
∴抛物线的对称轴为直线x=5，
∴−b2a=−b2×(−340)=20b3=5，
则b=34，
又∵抛物线经过(0,95)，
∴c=95，
∴y=−340x2+34x+95，
当x=0时，−340x2+34x+95=0，
整理得：x2−10x−24=0，
解得：x1=−2(舍去)，x2=12，
故答案安为：12．
建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
17.【答案】 解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将表中数据(55,70)、(60,60)代入，得
55k+b=70,60k+b=60,解得k=−2,b=180.
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180．
(2)由题意，得(x−50)(−2x+180)=600，
整理，得x2−140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，该天的销售单价应定为60元或80元．
(3)设当天的销售利润为w元，则
w=(x−50)(−2x+180)
=−2(x−70)2+800，
∵−2<0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．

【解析】见答案
18.【答案】解：设AE=x.∵∠A=30°，∴FE=12x，AF=x2−x22=32x.
由AB=12，得BC=6，AC=122−62=63，
∴CF=ED=63−32x．
∴长方形CDEF的面积 y=EF⋅DE=12x⋅63−32x=−34x2+33x．
∴当x=−b2a=−332×(−34)=6， 即AE=6(点E取AB的中点)时，四边形CDEF的面积最大．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)当0b=8020a+b=40，
解得，a=−2b=80，
即当0当2020m+n=4030m+n=80，
解得，m=4n=−40，
即当20由上可得，y与x的函数关系式为y=−2x+80(0(2)设当月第x天的销售额为w元，
当0∴当x=15时，w取得最大值，此时w=500，
当20∴当x=30时，w取得最大值，此时w=480，
由上可得，当x=15时，w取得最大值，此时w=500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)如图所示：
(2)设y=kx+b，
将(200,60)、(220,50)代入，得：200k+b=60220k+b=50，
解得k=−12b=160，
∴y=−12x+160(170≤x≤240)；
(3)w=xy=x(−12x+160)=−12x2+160x，
∴对称轴为直线x=−b2a=160，
∵a=−12<0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x=170时，w有最大值，最大值为12750元．
【解析】(1)描点、连线即可得；
(2)待定系数法求解可得；
(3)由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
21.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y=(x−20)[400−20(x−30)]
=(x−20)(1000−20x)
=−20x2+1400x−20000
=−20(x−35)2+4500，
∵−20<0，
∴x=35时，y有最大值，最大值为4500，
35−30=5，
所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元．
【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
22.【答案】解：(1)根据题意得：y=x(40−2x)，
∴y=−2x2+40x，
∵墙长15m，
∴40−2x≤15，
∴x≥12.5，
∵40−2x>0，
∴x<20，
∴自变量x的取值范围是12.5≤x<20；
(2)当y=200时，即200=−2x2+40x，
∴x2−20x+100=0，
解得：x1=x2=10，
∵12.5≤x<20，
∴此花园的面积不能达到200m2．
【解析】(1)已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得x的取值范围；
(2)求当y=200时x的值，根据自变量的取值范围回答问题．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
销售单价x(元)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
x(元)
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…