华师大版九年级上册第23章 图形的相似综合与测试课后复习题

第4讲 平行四边形的性质与判定

       【学习目标】

了解平行四边形的性质与判定

利用平行四边的性质与判定证明

        【基础知识】

考点一、平行四边形的定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

    考点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.

考点二、平行四边形的性质定理

   平行四边形的对角相等；

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角线互相平分；

考点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

考点三、平行四边形的判定定理

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

考点诠释：

（1）       这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个

行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

考点四、平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

2．平行线性质定理及其推论

夹在两条平行线间的平行线段相等.

平行线性质定理的推论：

夹在两条平行线间的垂线段相等.

   【考点剖析】

考点一：平行四边形的性质与判定

例1．如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

举一反三：

【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．

2、完成下列各题：

（1）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形ABCD的周长．

（2）已知：如图2，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．

求证：AB＝AC．

举一反三：

【变式】如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．

求证：AB＝BE．

例3、如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；

（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．

例4、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

        【真题演练】

1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）

A．∠1＝∠2     B．∠BAD＝∠BCD      C．AB＝CD      D．AC⊥BD 

2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）

 A．6      B．7        C．8        D．9

3.一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（　　）

  A．七边形      B．六边形      C．五边形      D．四边形

4. 如图，□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长等于（   ）

   A.2cm      B.1cm     C.1.5cm     D.3cm

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

6. 如图所示，口 ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，则△DCE的周长为(    )

    A．4     B．6     C．8     D．10

7. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（　　）

A．18     B．28     C．36     D．46

8.如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是（　　）

A．5.5    B．5    C．4.5    D．4

二.填空题

9.如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_______.

10．如图，若口 ABCD与口 EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．

12.如图，在□ABCD中，已知AB=2，BC=3，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠B=60°，则四边形AECD的周长是　        ．

13.如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是_____度．

14.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_____.（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．

15.如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝____.

16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______.

三.解答题

17.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：BF＝DE．

18.如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．

（1）求∠EDB的度数；

（2）求DE的长．

19.如图，在▱ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，AF与EH交于点M，FG与CH交于点N．

（1）求证：四边形MFNH为平行四边形；

（2）求证：△AMH≌△CNF．

20.如图，在口ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

       【过关检测】

1. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为（　　）

   A．120°     B．180°      C．240°       D．300°

2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）

A．           B．AC＝BD    

C．AC⊥BD                      D．口ABCD是轴对称图形

3.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是（　　）

A．120°    B．150°    C．135°    D．140°

4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有口ADCE中，DE最小的值是（　　）

  A．2       B．3       C．4         D．5

5.平行四边形的一边长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（　　）

A.4cm和6cm　　B.6cm和8cm　　C.8cm和10cm　　D.10cm和12cm

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　）

A.       B.       C.4         D.8

7.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　　）

A．7        B．7或8         C．8或9     D．7或8或9

8.如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）

A．3：4     B.    C.      D.

二.填空题

9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝___________.

10.已知任意直线l把口ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在位置需满足的条件是________.

11.如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1＋S3＝10，则S＝_______.

12. 如图所示，在口ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝AC；③DN＝2NF；④．其中正确的结论是________．(只填序号)

15. 如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________．

16.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有　            　．

①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）

三.解答题

17.如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB＝AC．

（1）求证：△BAD≌△AEC；

（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积．

18.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN； （2）求△ABC的周长． 

19.如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．

（1）若AB=8，AC=4，求DE的长；

（2）求证：AB﹣AC=2DM．

20.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．

（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．

求证：EI＝FG．