11.3多边形及其内角和 人教版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

11.3多边形及其内角和人教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或或

2. 多边形的内角和不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个十二边形的内角和等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 正五边形的外角和为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，五边形中，，，，分别是，，的外角，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7. 以线段，，，为边作四边形，可以作(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

8. 把一个正方形截去一个角后得到的多边形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 以上都有可能

9. 如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是．(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在四边形中，，点在边上，，则一定有(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在五边形中，，，，分别是，，的外角，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则______度．

14. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为_______________．
15. 如图所示，______．

16. 如图，，，，则的度数是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知边形的内角和．
    甲同学说：“能取”而乙同学说：“也能取”甲、乙的说法对吗若对，求出边数；若不对，说明理由
    若边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定的值．
18. 【感知】如图，在中，，则______
    【操作】如图，点、分别在图中的的边、上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点的对称点始终落在四边形的外部，交边于点，且点与点在直线的异侧．则______
    【探究】如图，设图中的，．
    求的度数；
    当的某条边与平行时，直接写出的度数．
     

19. 把根长度相等的木条分成三部分，分别用其中两部分木条首尾相连做成两个边数相等的多边形，再用剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形．
    求这三个多边形的内角和；
    如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数，求这三个多边形的边数．
20. 如图，在四边形中，，平分交于点，连结．

若，，求的度数；

若，求证：．

21. 如图，已知直线，是一个平面镜，光线从直线上的点射出，在平面镜上经点反射后，到达直线上的点我们称为入射光线，为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．
    
    如图，若，求的度数
    如图，若，，求的度数；
    如图，再放置块平面镜，其中两块平面镜在直线和上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形，光线从点以适当的角度射出后，其传播路径为试判断和的数量关系，并说明理由．
22. 已知：如图，边形．
    求证：边形的内角和等于；
    在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的倍还大，求这个多边形的内角和；
    粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数．

23. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠在几何里叫作平面镶嵌这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形．

填写表中空格．
根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形、个正八边形，求和的值，请写出过程．

24. 如图，已知四边形中，，，平分，平分，交于，交于，试判断与的位置关系，并说明理由．

25. 如图，在中，已知，分别平分，，，分别平分，的外角，．
     若，则______，______；
     若，则______，______用含的式子表示
    如图，在四边形中，，分别平分外角，，请探究与，的数量关系，并说明理由；
    如图，在六边形中，，分别平分外角，，请直接写出与，，，的数量关系______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解析】
解：如图可知，原来多边形的边数可能是，，．

故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：因为在这四个选项中不是的倍数的只有．
故选：．
多边形的内角和可以表示成且是整数，则多边形的内角和是度的倍数，由此即可求出答案．
本题主要考查多边形的内角和定理，牢记定理是解答本题的关键，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：十二边形的内角和等于：；
故选：．
边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：任意多边形的外角和都是，
故正五边形的外角和的度数为．
故选：．
根据多边形的外角和等于，即可求解．
本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
．
故选：．
先利用平行线的性质得到，然后根据多边形的外角和为得到，从而得到．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为且为整数，外角和永远为也考查了平行线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，
六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
六边形花环为正六边形，
，
而，
．
故选：．
利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出，然后把减去得到的度数．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于．
 

7.【答案】 

【解析】解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．
故选：．
根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．
本题主要考查四边形的不稳定性，理清题意，熟记四边形的不稳定性是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：

故选D．
 

9.【答案】 

【解析】解：一条直线将该矩形分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是的倍数，都能被整除，分析四个答案，
只有不能被整除，所以不可能是．
故选：．
根据多边形内角和定理：，无论分成两个几边形，其内角和都能被整除，所以不可能的是，不能被整除的．
此题主要考查了多边形内角和定理，题目比较简单．，无论分成两个几边形，其内角和都能被整除．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了多边形的内角问题．注意凸多边形的每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析根据任意凸多边形的外角和是可知它的外角中，最多有个钝角，则内角中，最多有个锐角．

【解答】

解：由于任意凸多边形的所有外角之和都是，
故外角中钝角的个数不能超过个，
又因为内角与外角互补，
因此，内角中锐角最多不能超过个，
则凸边形所有内角中锐角的个数最多有个．
故选C．

11.【答案】 

【解析】

【分析】由三角形内角和为，可得，再由四边形内角和为，可得，从而得到与的关系．
由三角形内角和为与四边形内角和为找出和分别与之间的关系是解题的关键．
【解答】解：由三角形内角和等于，，
可得，
由四边形内角和为，，
得，
所以，
故选D．
  

12.【答案】 

【解析】解：反向延长，，

，
，
根据多边形的外角和定理可得，
．
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：，
所以，
故答案为：．
由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出的度数．
本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查多边形的内角和定理，解答此题的关键是掌握内角和公式，解答此题先根据题意得到内角和为，然后根据内角和公式可得边数．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理．将所求角度之和转化为四边形内角和是解题关键．
根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”把，，，，，全部转化到，所在的四边形中，利用四边形内角和为度可得答案．
【解答】
解：如图，

，，

又，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
，
，
．
作辅助线，构造出四边形，先求出其它三内角的和，然后利用四边形内角和定理求解．
本题主要利用四边形内角和定理，作辅助线构造四边形是解题的突破口．
 

17.【答案】解析，
，
甲的说法对，乙的说法不对，
．
答：甲同学说的边数是．
依题意有，
解得．
故的值是． 

【解析】见答案．
 

18.【答案】   

【解析】【感知】在中，，，
则，
故答案为：；
【操作】在四边形中，，，
，
故答案为：；
【探究】由折叠，得．
，
，
，，
，
，
；
当时，，
，
，
由折叠性质可得；
当时，，
；
当时，不符合题意，
综上所述：的大小为或．
【感知】根据三角形内角和定理即可得出答案．
【操作】根据四边形内角和定理计算即可．
【探究】根据题目所给信息进行合理推理，找到隐含的角的度数关系，推导即可．
分两种情况进行讨论，注意每种情况的合理性即可．
本题考查的是三角形内角和定理，四边形内角和定理，平行的性质和折叠的性质，解决本题的关键在于熟悉相关性质，并能熟练应用．
 

19.【答案】解：设两个边数相等的多边形是边形，另一个多边形是边形为正整数，
根据题意得，有，则这三个多边形的内角和为，
根据题意得，，
，
，，，为正整数，
，；，；，，
答：这三个多边形的边数是、、或、、或、、． 

【解析】根据多边形内角和公式求解即可；
根据题意列出不等式组求解即可．
此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
平分，
，
，
；

证明：由知：，
，
，，
，
平分，
，
． 

【解析】本题考查了多边形的内角与外角、角平分线定义等知识点，能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和．
求出，求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
根据三角形内角和定理和求出，即可得出答案．
 

21.【答案】解：，，
，
作，
，
，
，
，
，
，

．
理由如下：由可知：，，
入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
，，
． 

【解析】根据可求出的度数；
由，可求出的度数，转化为来解决问题；
由推理可知：，，从而．
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
 

22.【答案】解：从边形的一个顶点可以作条对角线，
得出把三角形分割成的三角形个数为：，
这个三角形的内角和都等于，
边形的内角和是；
设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，
由题意，得，
解得，
即多边形的每个外角为，
多边形的外角和为，
多边形的边数为，
内角和为，
答：这个多边形的内角和为；
设多边形的边数为，多加的外角度数为，则
，
，内角和应是的倍数，
小明多加的一个外角为，
这是边形的内角和．
答：这个外角的度数是，该多边形的边数是． 

【解析】根据从边形的一个顶点可以作条对角线，这条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用三角形内角和等于解答；
设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，根据题意列出方程可得答案；
根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
本题考查了多边形的内角和定理的证明和运用，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是的倍数．
 

23.【答案】     

【解析】解：正五边形每个内角的度数为：；
正六边形每个内角的度数为：；
正八边形每个内角的度数为：；
因为，，，，，
所以仅用一种正多边形镶嵌，正三角形、正四边形、正六边形能镶嵌成一个平面图形；
根据题意知，且，均为正整数，
即，是方程的正整数解，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
所以，．
利用正边形每个内角求解；
进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和为，因此我们只需验证是不是题中所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
根据题意易知，应是方程的正整数解，解方程即可．
本题主要考查了平面镶嵌密铺、多边形的内角与外角．求正多边形每个内角度数，可先求出这个多边形的内角和，用内角和除以边数即可；一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能被整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
 

24.【答案】解：．

理由：  四边形的内角和为．

，
．

又平分，平分，

，，

．

而，

，
同位角相等，两直线平行．

【解析】略
 

25.【答案】       
解：理由如下：
．
 

【解析】解：解：；
；
故答案为：；．
解：；
；
故答案为：；，
解：理由如下：
．
．
故答案为：
根据角平分线的性质和三角形内角和以及外角定理解答即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理．正确运用角平分线的性质是解题的关键．