3.3 函数的应用（一） 教案

【教学目标】

1.知识目标：能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题.

（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义.

（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。

（3）能处理有民生、经济、物里等方面的实际问题。

2.能力目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体见了函敞知识的应用价值，也渗透了训练的价值.

3.情感目标：通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想.提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解。

【核心素养】

1.数学建模：在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题，建立模型，最终解决实际问题。

2.数学运算：会根据函数模型的应用的计算求解，求得参数.

3.数据分析：对所求的结果要进行检验，是否符合实际条件.

教学重点：

根据实际问题的需要，建立一次函数、二次函数等函数模型解决问题。

教学难点：

选择适当的函数模型解决实际问题。

教学过程：

一、 提出问题、师生探究

我们学过的函数不但可以解决很多数学问题，还可以运用函数知识和方法解决实际问题，在生活中有着广泛的应用。

运用函数解决实际问题，通常我们遵循以下几个步骤：

步骤：审题——转化——建立模型（函数关系式）——解答——检验实际问题。

1.阅读理解审清题意：读题时要抓住题目中的关键字、词、句，认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)。

2.建立文字数量关系：在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成简单的图或表的形式，从而列出题中各种数量之间的关系，为建立数学模型做好准备。

3.准确建立数学模型：将文字语言、符号语言、图表语言所表达的数量关系转化成数学语言，建立相应的数学模型，转化为一个数学问题，其中特别注意变量的范围. 准确建立数学模型是解应用题的关键。

4.解决数学模型问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。

5.检验结果还原作答：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。

二、例题讲解、学以致用

下面我们一起来看看几个实际问题：

例1：（课本121页例1）为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示：

记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f(x)元。

（1）写出f(x)的解析式；

（2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？

【交流与讨论1：】

① 何为阶梯水价？能否举例说明？

② f(x)和哪个函数模型有关？

【设计意图】：通过让学生举例说明阶梯水价的含义更好的理解题意，从而能够顺利建立分段函数模型

【学生活动1】：根据上面的讨论，求出f(x)的解析式.

解：（1）由题目可知，f(x)是一个分段函数，

当0＜x≤220时，f(x)=3.45x；

当220＜x≤300时，f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6；

当x＞300时，f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6；

所以：

（2）因为220＜260≤300，所以f(260)=4.83×260-303.6=952.2

答：张明一家2015年应缴纳水费952.2元.

【设计意图】：学生亲身实践，体会一次函数在实际问题中的应用。

【交流与讨论2】

① 如何正确书写分段函数的解析式；

② 生活中还有哪些问题可以用分段函数来描述：如：阶梯电价，居民煤气费用，公民个人所得税计算方式等。

③ 实行阶梯水价有什么好处？（在保证了居民正常生活用水的情况下，用水量越多，价格越高，有利于居民节约用水，提高环保意识。）

【设计意图】：

讨论交流分段函数的形式，避免学生书写错误或者不规范，体现数学的严谨性；

交流生活中还有哪些实际问题可以用分段函数解决，体现了用数学的角度去发现问题和解决问题的意识，以及归纳推广的思想方法；

交流阶梯水价的意义，有利于培养学生节约用水的环保意识。

例2：（课本123页例5）已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000，且当年产量是100时，总成本是6000。设改产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)。

（1）求f(Q)的解析式；

（2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值。

【交流与讨论3】：什么是平均成本？

这是函数在经济学中的应用，平均成本是指平均每生产一个单位产品所消耗的成本，等于总成本除以总产量。

【设计意图】：理清概念，理解题意，为顺利建立模型打下基础。

【学生活动2】：根据上面的讨论，求出f(Q)的表达式，并求出平均成本的最小值。

解：（1）将Q=100，C=6000代入C=aQ2+3000中，可得：

　　           1002a+3000=6000

从而：，于是

因此：　　

(2)分析:由可知:和均为正数且乘积为定值.可以运用

均值不等式求最小值.

当且仅当，即Q=100时，取等号.

答:当年产量为100时，平均成本最小，最小值为60.

三、课堂练习、深化理解

1.（课本P124页练习A组第1题）

参考答案：y=x(1+2%)(1-2%)=0.9996x,x＞0

【注意自变量x范围】

2.（课本P124页练习A组第2题）

参考答案：

【注意自变量x范围】

3.（课本P124页练习B组第1题）

参考答案：

（1）

（2）P(x)在x=62或63时取得最大值74120元，MP(x)在x=1时取得最大值2440元，因此它们不具有相同的最大值。

四、课堂小结、回顾反思

运用函数解决实际问题，关键在“审题”，这是建立函数模型的重要一步，通过审题，理清问题中的数量关系和因果关系，同时在审题的时候注意准确理解有关概念，如利润，成本，平均成本等。

五、布置作业、巩固练习

课本P124页练习A组第3题；

课本P124页练习B组第2题。