人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教学设计及反思

22.2 二次函数与一元二次方程

【知识与技能】

了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.

【过程与方法】

通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.

【情感态度】

进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力.

【教学重点】

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

【教学难点】

一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.

一、情境导入，初步认识

问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有关系：h=20t-5t2.

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

【教学说明】

教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自然而然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，及时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

通过对上述问题的思考，可以看出二次函数与一元二次方程之间存在着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.

问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答下列问题：

（1）图象与x轴交点的坐标是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？

（3）你能从中得到什么启示？

问题2下列函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

（1）y=x2+x-2;  (2)y=x2-6x+9;  (3)y=x2-x+1.

问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步认识，达到从感性认识到理性思考的飞跃，从而认识新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上进行归纳总结.

【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：

（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.

【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是             .

2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.

【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.

三、运用新知，深化理解

1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：

（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？

（2）x取什么值时，函数值大于0？

（3）x取什么值时，函数值小于0？

2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.

【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲本题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要了解即可.

【答案】1.图象如图所示：

(1)当x1=3,x2=-1.

(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.

（3）当-1<x<3时，函数值小于0.

2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.

所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.

我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：

观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.

我们可通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.

重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.

四、师生互动，课堂小结

1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？

2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？

1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.

2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.

这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.