数学22.2二次函数与一元二次方程教学设计

22.2 二次函数与一元二次方程自学自测

一、选择题

1. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是(　　)

A．x＜－4或x＞2      B．－4＜x＜2 

C．x＜0或x＞2      D．0＜x＜2

2．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：

那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　）

A．1 B．1.1 

C．1.2 D．1.3

3．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）

A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n 

C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b

4．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）

A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3 

C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1

5．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（，0） B．（3，0） 

C．（，0） D．（2，0）

6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　)

A．x1＝－3，x2＝1      B．x1＝3，x2＝1

C．x＝－3        D．x＝－2

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）

A． B． 

C．3 D．2

8．根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对应值：

判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）

A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 

C．3.25＜x＜3.26 D．不能确定

9. 如图，抛物线y＝x2－7x＋与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是(　　)

A．－＜m＜－       B．－＜m＜－

C．－＜m＜－       D．－＜m＜－

二、填空题

10．将函数y＝x2+2x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的是新函数y＝|x2+2x﹣3|的图象，若该新函数图象与直线y＝﹣x+b有两个交点，则b的取值范围为　   　．

11．若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是　   　．

12. 如图，已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的两个交点分别是A，B(点A在点B的左侧)．

(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为________；

(2)利用函数图象，求得当y<5时x的取值范围为________．

13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c，为常数），对称轴为直线x＝1，它的部分自变量x与函数值y的对应值如下表．请写出ax2+bc+c＝0的一个正数解的近似值　   　（精确到0.1）

14．已知函数y＝a（x+2）（x﹣），有下列说法：①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点，则只有唯一平移方法：向右平移2个单位；②当0＜a＜1时，抛物线的顶点在第四象限；③方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4必有实数根；④若a＜0，则当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．其中说法正确的是　   　．（填写序号）

15. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．

16．已知抛物线y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，直线y2＝2x+b经过点（x1，0）．若函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为　   　．

三、解答题

17．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．

18. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.

(1)求m，n的值；

(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？

19．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

20．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．

（I）求二次函数的表达式．

（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

21. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

(1)请你再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；

(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(精确到0.1)．

22．阅读材料，解答问题．

例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0

解：设y＝x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．

又∵当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．

∴由此得抛物线y＝x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．

∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是　   　；

（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0．

23．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+4（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝m，交抛物线于D、E两点．

（1）当a＝﹣时，求A，B两点的坐标；

（2）当m＝2，DE＝4时，求抛物线的解析式；

（3）当a＝﹣1时，方程ax2﹣3ax+4＝m在﹣6≤x＜4的范围内有实数解，请直接写出m的取值范围：　   　．

24．已知函数y＝x2+（b﹣1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2﹣x1＞1；

（1）求证：b2＞2（b+2c）；

（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．

22.2 二次函数与一元二次方程自学自测

一、选择题

1.  A　   2． C     3． C     4． C     5． B

6.  A　   7． C     8． B     9.  C　  

二、填空题

10． b＞或﹣＜b＜        11． m＜﹣9．

12.  (1)(－3，0)　(1，0)　(2)－4<x<2

13． 2.2．（答案不唯一，与其相近即可）       14．  ②③．

15.  x1＝－2，x2＝1　    16． 6

三、解答题

17． 解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），

设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．

∵该函数图象经过点A（1，0），

∴0＝a（1﹣3）2﹣2，

解得a＝

∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．

（2）如图所示：

当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；

当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；

当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；

当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；

当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．

18. 解：(1)∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1，

∴解得

(2)由(1)知二次函数的解析式为y＝x2＋2x－2.

∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，

∴当x≤－1时，y随x的增大而减小．

19． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

解得：．

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，连接BE，

∵点E（2，m）在抛物线上，

∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，

∴E（2，﹣3），

∴BE＝＝，

∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，

∴FH是三角形ABE的中位线，

∴FH＝BE＝×＝．

20． 解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；

故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，

当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝4﹣8+3＝﹣1，

故顶点坐标为（2，﹣1）．

21. 解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．

(2)在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，

∴方程的解为x≈1.5.

22． 解：（1）x＜﹣1或x＞3；

（2）设y＝x2﹣1，则y是x的二次函数，

∵a＝1＞0，

∴抛物线开口向上．

又∵当y＝0时，x2﹣1＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝1．

∴由此得抛物线y＝x2﹣1的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．

∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．

23． 解：（1）当a＝﹣时，令y＝﹣x2﹣3×（﹣）x+4＝0，解得：x＝5或﹣2，

故点A、B的坐标分别为（5，0）、（﹣2，0）；

（2）函数的对称轴为x＝，

∵DE＝4，m＝2，故点D（，2），

将点D的坐标代入y＝ax2﹣3ax+4并解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+3x+4，

令y＝0，则x＝﹣6或4，

当x＝﹣6时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣50，

函数的对称轴为x＝，则顶点坐标为（，），

当﹣6≤x＜4时，﹣50≤y≤，

故m的取值范围为：﹣50≤m≤，

故答案为：﹣50≤m≤．

24． 证明：（1）∵令y＝x2+（b﹣1）x+c中y＝0，

得到x2+（b﹣1）x+c＝0，

∴x＝，又x2﹣x1＞1，

∴，

∴b2﹣2b+1﹣4c＞1，

∴b2＞2（b+2c）；

（2）由已知x2+（b﹣1）x+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），

∴x2+bx+c＝（x﹣x1）（x﹣x2）+x，

∴t2+bt+c＝（t﹣x1）（t﹣x2）+t，

t2+bt+c﹣x1＝（t﹣x1）（t﹣x2）+t﹣x1＝（t﹣x1）（t﹣x2+1），

∵t＜x1，

∴t﹣x1＜0，

∵x2﹣x1＞1，

∴t＜x1＜x2﹣1，

∴t﹣x2+1＜0，

∴（t﹣x1）（t﹣x2+1）＞0，

即t2+bt+c＞x1．