人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案，共10页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第五节《函数的应用》（第三课时）。这节课的内容突出了函数应用的广泛性，加强函数与其他知识的联系，函数模型的应用从现实背景中体现出了函数的应用价值。本节课旨在培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
二、学情分析
学生已经学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数及函数的零点，进一步研究各种函数模型的增长速度的差异，激发学生学习数学和应用数学的的意识，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养．
三、学习目标
1、会利用已知函数模型解决实际问题，提升学生数学建模、数据分析等素养.
2、能建立函数模型解决实际问题，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力．
3、了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性，提高学生应用数学的实际能力．
四、教学重点
重点：用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．
难点：选择恰当的函数模型分析和解决实际问题．
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
【想一想】五期后的本利和是多少？
提示：解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
探索交流，解决问题
【问题1】 解决上述问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
【思考1】1.实际问题中两个变量之间一定是确定的函数关系吗？
提示： 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义就可以吗？
提示： 函数模型中定义域必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等吗？
提示：拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
【设计意图】
由问题引发学生思考，得出常见的函数模型，培养学生数学抽象、数学建模的核心素养。
（二）常见的函数模型
【做一做】 某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A.y＝lg2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析：选B. 逐个检验可得答案为B.
【设计意图】
通过具体的例子，让学生对函数模型的应用有一个初步的了解。
（三）应用函数模型解决问题的基本过程
【思考2】1. 在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型吗？
提示：不是的．
2.利用函数模型求实际应用问题的最值时，只要函数能取到最值就可以吗？
提示：不是，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
【设计意图】
让学生从问题中得出应用函数模型解决问题的基本过程，培养学生数学抽象的核心素养。
应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题的结论．
特别提醒：
一定要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
【做一做】 2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).
提示：设x年我国人口将超过20亿，由已知条件，得14(1＋1.25%)x－2 014>20，x－2 014>eq \f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq \f(1－lg 7,4lg 3－3lg 2－1)≈28.7，则x>2 042.7，即x＝2 043.
【设计意图】
通过具体的例子，加深对知识点的理解.
（四）函数模型的应用
1.已知函数模型解决实际问题
例1. 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
解：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
【类题通法】1.指数函数模型
在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2.对数函数模型
有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．
巩固练习1. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(O,10)，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入题中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10个单位．
(2)将耗氧量O＝80代入题中公式，得v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s).
2.建立适当的函数模型解决实际问题
例2 . 某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85 元/km).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.
解：(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8（0(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘2辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元).
因为40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
【类题通法】1.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
2.应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
巩固练习2. 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40 000，x>200，x∈N，))其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋300x－10 000，0≤x≤200，x∈N，,30 000－100x，x>200，x∈N.))
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
3.根据拟合效果选择恰当的函数模型解决实际问题
例3. 某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝algbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解：(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝algbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1 296a＋36b＋c＝90，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝－10，,c＝126，))
∴y＝eq \f(1,4)x2－10x＋126＝eq \f(1,4)(x－20)2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．
【类题通法】建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
巩固练习3. 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝algbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(150＝2 500a＋50b＋c，,108＝12 100a＋110b＋c，,150＝62 500a＋250b＋c，))
解得a＝eq \f(1,200)，b＝－eq \f(3,2)，c＝eq \f(425,2).
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝eq \f(1,200)t2－eq \f(3,2)t＋eq \f(425,2).
(2)当t＝－eq \f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝eq \f(1,200)×1502－eq \f(3,2)×150＋eq \f(425,2)＝100(元/10 kg)．
（五）操作演练 素养提升
1．一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数
2.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤( )
A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只
3.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
【答案】 1. A 根据图象的拟合效果可知．
2.C 当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2019年冬，
即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故选C.
3.甲 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
【设计意图】
通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：

2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。
六、布置作业
完成教材：第154页 练习1,2
第155页 习题4.5 题16,8,9.
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）（x时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
t
50
110
250
Q
150
108
150