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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体公开课ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体公开课ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了百分位数定义的理解，四分位数，中位数，知识点等内容，欢迎下载使用。
1.频率分布直方图画法
2.频率分布直方图的性质
(4)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
前面我们用频率分布表、频率分布图直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，接下来用这些数据，怎样为政府决策服务呢？下面对此进行讨论研究。
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
若i是整数，则第p百分位数为第项与第(i+1)项数据的平均数.
为什么要求至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－ p) %的数据大于或等于这个值？
中位数为3，此时有60%（至少有50%）的数小于或等于3，且有60%（至少有50%）的数大于或等于3.
中位数为3.5，此时有50%（至少有50%）的数小于或等于3.5，且有50%（至少有50%）的数大于或等于3.5.
第一四分位数或下四分位数
第三四分位数或上四分位数
学过的中位数，相当于是第50百分位数，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。
其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等。
另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，和第99百分位数在统计中也经常被使用。
例1、从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0， 分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.
题型一：百分位数的计算
解 将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
95%分位数是第12个数据为9.9.
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
例2、根据下面女生的身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.
【解】：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75, 50%×27=13.5, 75%×27=20.25,可知样本数据的第25,50,75百分位数为第7, 14,21项数据，分别为155.5,161,164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数分别约为155.5,161和164.
【变式】：估计下表中树人中学高一年级男生的25，50，75百分位数，如果要减少估计的误差， 你觉得应该怎么做？
【解析】：(1)把23名男生的样本数据按从小到大排序，可得164 165 165 166 167 168 168 168 170 170 170 172 172 172 173 173 173 173 174 175 175 175 176
因为23×25%=5.75，所以第25百分位数为第6项数据168;
因为23×50%=11.5，所以第50百分位数为第12项数据172
因为23×75%=17.25，所以第75百分位数为第18项数据173
(2)扩大抽取样本量.
【练1】某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9， 则其50%分位数为______.
解 ∵7×50%＝3.5，
∴其50%分位数是第4个数据为8.5.
例3、根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由 上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体 是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
题型二：对总体百分位数的估计
解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为
23%+32%+13%+9%=77%.
在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%.
因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
例4 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个 数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.
题型三：百分位数的综合应用
解（1）第一组频率为0.01×5＝0.05，
（2）由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%， 所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
解（3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，
评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
【练2】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树 木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上， 其频率分布直方图如图所示， 你能估计一下60株树木的 第50百 分位数和第75百分位数吗？
解 由题意知分别落在各区间上的频数在[80,90)上为60×0.15＝9，
在[90,100)上为60×0.25＝15，在[100,110)上为60×0.3＝18，
在[110,120)上为60×0.2＝12，在[120,130]上为60×0.1＝6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上，
第75百分位数一定落在区间[110,120)上，
综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.
1.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为（ ） A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3
解 因为8×30%＝2.4不是整数，故30%分位数是第三项数据8.4.
2.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是 A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
解 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为 75%分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不对，故选ABD.
3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此 样本数据的第50百分位数为_____.
解 样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，
样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，
所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内，
4.如图是某市2022年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温 的第10百分位数为_____，日最低气温的第80百分位数为_____.
解 由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序， 得24,24.5,24.5,25,26,26,27， 因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，
所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24 ℃.
把日最低气温按照从小到大排序，得12,12,13,14,15,16,17，
因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，
所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16 ℃.
5.求下列数据的四分位数. 13, 15, 12, 27, 22, 24, 28, 30, 31, 18, 19, 20，
解 把12个数据按从小到大的顺序排列可得:12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，
计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，
6.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.
(1)第p百分位数.(2)四分位数.
2.方法归纳：数据分析、数形结合.
3.易错点：求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列.
课本P203 练习1,2,3
1.频率分布直方图画法
2.频率分布直方图的性质
(4)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
前面我们用频率分布表、频率分布图直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，接下来用这些数据，怎样为政府决策服务呢？下面对此进行讨论研究。
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
若i是整数，则第p百分位数为第项与第(i+1)项数据的平均数.
为什么要求至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－ p) %的数据大于或等于这个值？
中位数为3，此时有60%（至少有50%）的数小于或等于3，且有60%（至少有50%）的数大于或等于3.
中位数为3.5，此时有50%（至少有50%）的数小于或等于3.5，且有50%（至少有50%）的数大于或等于3.5.
第一四分位数或下四分位数
第三四分位数或上四分位数
学过的中位数，相当于是第50百分位数，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。
其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等。
另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，和第99百分位数在统计中也经常被使用。
例1、从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0， 分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.
题型一：百分位数的计算
解 将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
95%分位数是第12个数据为9.9.
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
例2、根据下面女生的身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.
【解】：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75, 50%×27=13.5, 75%×27=20.25,可知样本数据的第25,50,75百分位数为第7, 14,21项数据，分别为155.5,161,164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数分别约为155.5,161和164.
【变式】：估计下表中树人中学高一年级男生的25，50，75百分位数，如果要减少估计的误差， 你觉得应该怎么做？
【解析】：(1)把23名男生的样本数据按从小到大排序，可得164 165 165 166 167 168 168 168 170 170 170 172 172 172 173 173 173 173 174 175 175 175 176
因为23×25%=5.75，所以第25百分位数为第6项数据168;
因为23×50%=11.5，所以第50百分位数为第12项数据172
因为23×75%=17.25，所以第75百分位数为第18项数据173
(2)扩大抽取样本量.
【练1】某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9， 则其50%分位数为______.
解 ∵7×50%＝3.5，
∴其50%分位数是第4个数据为8.5.
例3、根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由 上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体 是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
题型二：对总体百分位数的估计
解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为
23%+32%+13%+9%=77%.
在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%.
因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
例4 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个 数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.
题型三：百分位数的综合应用
解（1）第一组频率为0.01×5＝0.05，
（2）由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%， 所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
解（3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，
评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
【练2】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树 木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上， 其频率分布直方图如图所示， 你能估计一下60株树木的 第50百 分位数和第75百分位数吗？
解 由题意知分别落在各区间上的频数在[80,90)上为60×0.15＝9，
在[90,100)上为60×0.25＝15，在[100,110)上为60×0.3＝18，
在[110,120)上为60×0.2＝12，在[120,130]上为60×0.1＝6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上，
第75百分位数一定落在区间[110,120)上，
综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.
1.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为（ ） A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3
解 因为8×30%＝2.4不是整数，故30%分位数是第三项数据8.4.
2.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是 A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
解 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为 75%分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不对，故选ABD.
3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此 样本数据的第50百分位数为_____.
解 样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，
样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，
所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内，
4.如图是某市2022年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温 的第10百分位数为_____，日最低气温的第80百分位数为_____.
解 由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序， 得24,24.5,24.5,25,26,26,27， 因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，
所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24 ℃.
把日最低气温按照从小到大排序，得12,12,13,14,15,16,17，
因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，
所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16 ℃.
5.求下列数据的四分位数. 13, 15, 12, 27, 22, 24, 28, 30, 31, 18, 19, 20，
解 把12个数据按从小到大的顺序排列可得:12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，
计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，
6.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.
(1)第p百分位数.(2)四分位数.
2.方法归纳：数据分析、数形结合.
3.易错点：求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列.
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