高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体课堂教学ppt课件

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9.2　用样本估计总体
9.2.2　总体百分位数的估计9.2.3　总体集中趋势的估计
　　　百分位数(1)概念一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)求解步骤可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
　　　众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据中________________的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于________位置的数．如果个数是偶数，则取________两个数据的平均数．(3)平均数：一组数据的______除以数据个数所得到的数．
[知识解读]　1．众数、中位数、平均数的理解(1)一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．说明：如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．
2．众数、中位数和平均数的比较
　　　　　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0．(1)分别求出这组数据的第25,50,95百分位数；(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9．(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
[归纳提升]　1．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)算i：计算i＝n×p%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．2．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．
【对点练习】❶　(1)求下列数据的四分位数．13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．
(2)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为_______ 秒．
　　　　　已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是_____，平均数是_____．
[归纳提升]　平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
【对点练习】❷　某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的数学成绩(百分制)如下所示，甲的成绩是75,83,85,85,92，乙的成绩是74,84,84,85,98，甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1，x2，得分的平均数分别为y1，y2，则下列结论正确的是(　　)A．x1＜x2，y1＜y2B．x1＜x2，y1＞y2C．x1＞x2，y1＞y2D．x1＞x2，y1＜y2
　　　　　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分；(2)估计该校参加高二年级学业水平测试的学生的众数、中位数和平均数．
[归纳提升]　用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
【对点练习】❸　某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　　)A．20B．25C．22.5D．22.75
[解析]　产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，…，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C．
不能正确理解平均数的含义　　　　　下列判断正确的是(　　)A．样本平均数一定小于总体平均数B．样本平均数一定大于总体平均数C．样本平均数一定等于总体平均数D．样本量越大，样本平均数越接近于总体平均数[错解]　A或B或C．
[错因分析]　错解的原因是对样本平均数与总体平均数之间关系的理解不到位．对用样本数据估计总体要有一个辩证的理解，即要考虑到它有时会出现偏差，要解决这一问题，可适度增加样本量，样本量越大，它与总体的接近程度就越大，可信度也就越大．[正解]　D[误区警示]　对于样本平均数与总体平均数，若样本的选取较为合理，能够代替总体，则它们间的平均数差距较小，否则样本与总体之间不具备可比性．
【对点练习】❹　判断：样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．(　　)
1．下列一组数据的第25百分位数是(　　)2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5[解析]　由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．
2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是________．[解析]　因为8×30%＝2.4，故第30百分位数是第三项数据8.4．3．(2020·江苏卷)已知一组数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，则a的值是_____．[解析]　∵数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，∴4＋2a＋3－a＋5＋6＝20，即a＝2．
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示．
求：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数；(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数；(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数．[解析]　(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数为(0.04×10＋0.025×10)×20＝13．(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5．(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64．