高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课文ppt课件

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1.理解：二面角及其平面角的概念；
两个平面互相垂直的判定定理；
2.掌握：二面角的平面角的一般作法；
3.运用：会求简单的二面角的平面角；
两个平面互相垂直的概念 ；
会用定义和定理判定面面垂直.
平面与平面垂直的判定定理
平面与平面垂直的判定定理的应用
为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.
【比如】修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；
发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.
为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.
平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面。
将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，如图：
将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，二面角的直观图如右图所示：
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
(1)这条直线叫做二面角的 棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面 .
或二面角P－AB－Q.
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
∠AOB即为二面角α-AB-β的
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
例1 从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°， 则二面角α－l－β的平面角的大小是 A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定
解 如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α－l－β的棱交于点O，
因为PE⊥α，PF⊥β，
所以PE⊥l，PF⊥l，
所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，
则∠EOF为α－l－β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，
故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°，故选C.
例2.如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.
解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角.
设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上.
求二面角的平面角的大小的步骤
【练1】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC， 求二面角P－BC－A的大小.
解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?
(3)记作： .
【定理】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
简记：线面垂直，则面面垂直
【定理证明】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
证明：设已知⊙O平面为α
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
例5 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，
∴平面PDB⊥平面PAC.
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角
（2）用面面垂直的判定定理
【练2】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
证 作 SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，
又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，∴SH⊥平面ABC，
又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
解 由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ） A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
3.(多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法正确的有( ) A.平面PAD⊥平面PAB B.平面PAD⊥平面PCD C.平面PBC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PCD
解 由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，
∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故选ABC.
解 因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故①正确；
因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE. 因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；
因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；
只有②不正确.故正确的命题为①③④.
4.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题： ①BC∥平面PDF； ②平面PDF⊥平面ABC； ③DF⊥平面PAE； ④平面PAE⊥平面ABC. 其中正确命题的序号是________.
5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点. 求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
证 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
6.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC， 垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB 的中点M到点D的距离为3. (1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；(2)求六面体ABCDEF的体积.
（1）证:取EF的中点N，连接MN，DN，MD.
根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，
又M，N分别为AB，EF的中点，∴MN⊥EF，MN＝2.
∴MN⊥平面CDEF.
又MN⊂平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF.
(2) 解　连接CE，则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C－ABFE＋V三棱锥A－CDE.
由(1)知MN⊥平面CDEF，
又MN∥BF∥AE，∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，
KE TANG XIAO JIE
3.易错点：二面角的平面角的两种情况，二面角的取值范围与线与线，线与面所成交的范围混淆.
二面角及其平面角的概念
课本P158 练习 1,2,3,4