高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换练习题

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1．计算2sin2105°－1的结果等于( D )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
【解析】2sin2105°－1＝－cs210°＝cs 30°＝ eq \f(\r(3),2) .
2．化简 eq \f(2tan 18°cs 36°,1－tan218°) 等于( A )
A．sin 36°
B．sin 18°
C．2sin 36°
D．2sin 18°
【解析】 eq \f(2tan 18°cs 36°,1－tan218°) ＝tan 36°cs 36°＝sin 36°.
3． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列计算正确的是( ACD )
A． eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°) ＝1
B．1－2sin275°＝ eq \f(\r(3),2)
C．cs4 eq \f(π,8) －sin4 eq \f(π,8) ＝ eq \f(\r(2),2)
D．cs275°＋cs215°＋cs75°cs 15°＝ eq \f(5,4)
【解析】 选项A中， eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°) ＝tan45°＝1；
选项B中，1－2sin275°＝cs150°＝－ eq \f(\r(3),2) ；
选项C中，cs4 eq \f(π,8) －sin4 eq \f(π,8) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,8)＋sin2\f(π,8))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,8)－sin2\f(π,8))) ＝cs eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) ；
选项D中，cs275°＋cs215°＋cs75°cs 15°＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs 15°＝1＋ eq \f(1,2) sin 30°＝1＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(5,4) .故ACD正确．
4．若θ为锐角，tan 2θ＝ eq \f(4,3) ，则tan θ等于( B )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．3 D． eq \f(1,3)
【解析】 tan 2θ＝ eq \f(2tan θ,1－tan2θ) ＝ eq \f(4,3) ，即2tan2θ＋3tanθ－2＝0，
解得tan θ＝ eq \f(1,2) 或tan θ＝－2(舍去).
5．化简 eq \r(2cs 8＋2) －2 eq \r(sin 8＋1) ＝( A )
A．2sin 4 B．－2sin 4
C．2cs 4 D．－2cs 4
【解析】 eq \r(2cs 8＋2) －2 eq \r(sin 8＋1)
＝ eq \r(2（cs 8＋1）) －2 eq \r(sin 8＋1)
＝ eq \r(2·2cs24) －2 eq \r(（sin4＋cs 4）2)
＝2|cs 4|－2|sin 4＋cs 4|，
∵π＜4＜ eq \f(3,2) π，∴4弧度在第三象限，
∴原式＝－2cs 4＋2sin 4＋2cs 4＝2sin 4.
6．设0<α< eq \f(π,2) ，sin α＝ eq \f(1,3) ，则下列等式错误的是( D )
A．sin 2α＝ eq \f(4\r(2),9)
B．cs 2α＝ eq \f(7,9)
C．sin eq \f(α,2) ＋cs eq \f(α,2) ＝ eq \f(2\r(3),3)
D．sin eq \f(α,2) －cs eq \f(α,2) ＝ eq \f(\r(6),3)
【解析】 因为0<α< eq \f(π,2) ，sin α＝ eq \f(1,3) ，所以cs α＝ eq \f(2\r(2),3) ，sin 2α＝2sin αcs α＝2× eq \f(1,3) × eq \f(2\r(2),3) ＝ eq \f(4\r(2),9) ，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2× eq \f(1,9) ＝ eq \f(7,9) ，sin eq \f(α,2) ＋cs eq \f(α,2) ＝ eq \r(1＋2sin \f(α,2)cs \f(α,2)) ＝ eq \r(1＋sin α) ＝ eq \r(1＋\f(1,3)) ＝ eq \f(2\r(3),3) .因为0< eq \f(α,2) < eq \f(π,4) ，所以sin eq \f(α,2) －cs eq \f(α,2) <0，所以sin eq \f(α,2) －cs eq \f(α,2) ＝－ eq \r(1－2sin \f(α,2)cs \f(α,2)) ＝－ eq \r(1－sin α) ＝－ eq \r(1－\f(1,3)) ＝－ eq \f(\r(6),3) .
二、填空题
7．已知tan α＝3，则sin2α－sin2α＝__ eq \f(3,10) __．
【解析】 sin2α－sin2α＝ eq \f(sin2α－sin2α,sin2α＋cs2α) ＝ eq \f(sin2α－2sinαcs α,sin2α＋cs2α) ＝ eq \f(tan2α－2tanα,tan2α＋1) ＝ eq \f(9－2×3,9＋1) ＝ eq \f(3,10) .
8．在△ABC中，已知cs 2C＝－ eq \f(1,4) ，则sin C的值为__ eq \f(\r(10),4) __．
【解析】 因为cs 2C＝1－2sin2C＝－ eq \f(1,4) ，且0所以sinC＝ eq \f(\r(10),4) .
9．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α)) ＝ eq \f(1,3) ，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α)) ＝__－ eq \f(7,9) __．
【解析】 cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α)) ＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))) ＝
2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)) －1＝2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))) －1＝－ eq \f(7,9) .
10．已知tanx＝2，则tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))))) 的值为__ eq \f(3,4) __．
【解析】 tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))))) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))) ＝ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))) ＝ eq \f(－cs 2x,sin 2x) ＝－ eq \f(1,tan 2x) ＝－ eq \f(1－tan2x,2tanx) ＝ eq \f(3,4) .
11．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) －2 eq \r(2) sin2x的周期是__π__，最大值是__1－ eq \r(2) __．
【解析】f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) －2 eq \r(2) sin2x＝ eq \f(\r(2),2) sin2x－ eq \f(\r(2),2) cs 2x－2 eq \r(2) × eq \f(1－cs 2x,2) ＝ eq \f(\r(2),2) sin 2x＋ eq \f(\r(2),2) cs 2x－ eq \r(2) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) － eq \r(2) ，所以函数f(x)的周期为π，最大值为1－ eq \r(2) .
三、解答题
12．求下列各式的值．
(1)2cs2 eq \f(π,12) －1；
(2) eq \f(tan30°,1－tan230°) ；
(3)cs eq \f(π,12) cs eq \f(5π,12) .
解：(1)2cs2 eq \f(π,12) －1＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12))) ＝cs eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) .
(2) eq \f(tan 30°,1－tan230°) ＝ eq \f(\f(1,2)×2tan30°,1－tan230°) ＝ eq \f(1,2) tan60°＝ eq \f(\r(3),2) .
(3)cs eq \f(π,12) cs eq \f(5π,12) ＝cs eq \f(π,12) sin eq \f(π,12) ＝ eq \f(1,2) sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,4) .
13．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)) ＝ eq \f(1,6) ，且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，求sin 4α的值．
解：因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) ·
sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))) ＝ eq \f(1,6) ，
所以2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) ＝ eq \f(1,3) ，
即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α)) ＝ eq \f(1,3) ，
所以cs 2α＝ eq \f(1,3) .
又因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，所以2α∈(π，2π)，
所以sin 2α＝－ eq \r(1－cs22α) ＝－ eq \f(2\r(2),3) ，
所以sin4α＝2sin 2αcs 2α＝－ eq \f(4\r(2),9) .
[B级 素养养成与评价]
14．已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝ eq \f(1,2) ，则cs 2α的值为( C )
A．± eq \f(\r(7),4) B． eq \f(\r(7),4)
C．－ eq \f(\r(7),4) D．－ eq \f(3,4)
【解析】 因为sin α＋cs α＝ eq \f(1,2) ，α∈(0，π)，
所以1＋2sin αcs α＝ eq \f(1,4) ，
所以sin 2α＝－ eq \f(3,4) ，且sin α＞0，cs α＜0，
所以cs α－sin α＝－ eq \r(1－2sin αcs α) ＝－ eq \f(\r(7),2) ，
所以cs 2α＝(cs α－sin α)(cs α＋sin α)＝－ eq \f(\r(7),4) .故选C.
15．设a＝ eq \f(1,2) cs 7°－ eq \f(\r(3),2) sin 7°，b＝2cs 12°·cs 78°，c＝ eq \r(\f(1－cs 50°,2)) ，则a，b，c的大小关系是__c＞b＞a__．
【解析】 a＝ eq \f(1,2) cs 7°－ eq \f(\r(3),2) sin 7°＝sin 30°cs 7°－cs 30°sin 7°＝sin (30°－7°)＝sin 23°，b＝2cs 12°·cs 78°＝2sin 12°cs 12°＝sin 24°，c＝ eq \r(\f(1－cs 50°,2)) ＝ eq \r(\f(1－（1－2sin225°）,2)) ＝ eq \r(sin225°) ＝sin25°，所以c＞b＞a.
16．cs eq \f(π,7) cs eq \f(3π,7) cs eq \f(5π,7) ＝__－ eq \f(1,8) __．
【解析】 cs eq \f(π,7) cs eq \f(3π,7) cs eq \f(5π,7) ＝cs eq \f(π,7) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(4π,7))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(2π,7)))
＝ eq \f(2sin \f(π,7)cs \f(π,7)cs \f(2π,7)cs \f(4π,7),2sin \f(π,7))
＝ eq \f(sin \f(2π,7)cs \f(2π,7)cs \f(4π,7),2sin \f(π,7)) ＝ eq \f(sin \f(4π,7)cs \f(4π,7),4sin \f(π,7)) ＝ eq \f(sin \f(8π,7),8sin \f(π,7)) ＝－ eq \f(1,8) .
17．若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)) ＝－ eq \f(4,5) ， eq \f(5π,4) 解： eq \f(sin 2x－2sin2x,1＋tanx) ＝ eq \f(2sin x（cs x－sin x）cs x,cs x＋sin x)
＝ eq \f(sin 2x（cs x－sin x）,cs x＋sin x) ＝sin 2x· eq \f(1－tan x,1＋tan x)
＝sin 2x tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)) tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1)) tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)) .
因为 eq \f(5π,4) 又因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)) ＝－ eq \f(4,5) ，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)) ＝ eq \f(3,5) ，
tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)) ＝－ eq \f(3,4) ，
所以原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(16,25)－1)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))) ＝－ eq \f(21,100) .