高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时学案设计

第1课时　三角函数诱导公式(1)

[课程目标] 1.能借助圆的对称性推导公式二、三、四；2.灵活运用诱导公式二、三、四，并能利用诱导公式进行化简与求值．

知识点一　公式二

1．角π＋α与角α的终边关于__原点__对称，如图所示．

2．公式二：sin (π＋α)＝__－sin__α__，

cos (π＋α)＝__－cos__α__，

tan (π＋α)＝__tan__α__．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)公式二中角α是任意角．(　×　)

(2)sin ＝－sin .(　×　)

(3)cos ＝－.(　√　)

(4)tan ＝.(　×　)

【解析】 (1)公式tan (π＋α)＝tan α中，α≠kπ＋(k∈Z).

(2)sin ＝－sin ＝－sin ＝sin .

(3)cos ＝cos ＝－cos ＝－.

(4)tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－.

知识点二　公式三

1．角－α与角α的终边关于__x__轴对称，如图所示．

2．公式三：sin (－α)＝__－sin__α__，

cos (－α)＝__cos__α__，

tan (－α)＝__－tan__α__．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)公式sin (－α)＝－sin α，α是锐角才成立．(　×　)

(2)sin (－340°)<0.(　×　)

(3)cos (－390°)＝.(　√　)

(4)tan (－600°)＝－.(　√　)

【解析】 (1)α为任意角．

(2)sin (－340°)＝－sin 340°＝－sin (360°－20°)＝－sin (－20°)＝sin 20°>0.

(3)cos (－390°)＝cos 390°＝cos (360°＋30°)＝cos 30°＝.

(4)tan (－600°)＝－tan 600°＝－tan (720°－120°)＝tan 120°＝－.

知识点三　公式四

1．角π－α与角α的终边关于__y__轴对称，如图所示．

2．公式四：sin (π－α)＝__sin__α__，

cos (π－α)＝__－cos__α__，

tan (π－α)＝__－tan__α__．

[研读]诱导公式可以统一为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．

　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)公式tan (α－π)＝tan α中，α＝时不成立．(　√　)

(2)角α与角β的终边关于y轴对称，则sin α＋sin β＝0.(　×　)

(3)若α＋β＝3π，则cos α＝cos β.(　×　)

(4)tan (5π－θ)＝tan θ.(　×　)

【解析】 (1)公式中α≠kπ＋(k∈Z).

(2)角α与角β的终边关于y轴对称，有sin α＝sin β.

(3)α＝3π－β，cos α＝cos (3π－β)＝cos (π－β)＝－cos β.

 (4)tan (5π－θ)＝tan (π－θ)＝－tan θ.

 求下列各式的值．

(1)cos 150°；　　(2)cos sin .

解：(1)cos 150°＝cos (180°－30°)＝－cos 30°＝－.

(2)cos sin ＝cos sin

＝cos sin ＝－cos sin

＝－×＝－.

活学活用

计算：(1)tan ＋tan ＋tan ＋tan ；

(2)sin (－60°)＋cos 225°＋tan 135°.

解：(1)原式＝tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝

tan ＋tan －tan －tan ＝0.

(2)原式＝－sin 60°＋cos (180°＋45°)＋tan (180°－45°)＝

－－cos 45°－tan 45°＝－－－1＝－.

[规律方法]

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：

 化简：.

解：原式＝＝

＝＝－1.

活学活用

已知f(x)＝(n∈Z).

(1)化简f(x)的表达式；(2)求f.

解：(1)解法一：f(x)＝＝＝sin2x.

解法二：当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝＝sin2x，

综上得f(x)＝sin2x.

(2)由(1)知f＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝.

[规律方法]

利用诱导公式一～公式四化简应注意的问题：

(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；

(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

(3)同时有“切”(正切)与“弦”(正弦函数、余弦函数)的式子化简，一般采用“切”化“弦”，有时也将“弦”化“切”.

已知cos ＝，求下列各式的值．

(1)cos ；

(2)sin2.

解：(1)cos＝cos ＝cos ＝.

(2)sin2＝sin2＝sin2＝

1－cos2＝1－＝.

活学活用

已知tan ＝，则tan 的值是__－__．

【解析】 tan ＝tan ＝

－tan ＝－.

[规律方法]

解决给值(式)求值的策略：

(1)仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

1．已知cos (π＋θ)＝，则cos θ等于(　B　)

A．　　　　　　B．－　　

C．    D．－

【解析】 cos θ＝－cos (π＋θ)＝－.

2．下列式子中正确的是(　D　)

A．sin (π－α)＝－sin α

B．cos (π＋α)＝cos α　

C．cos α＝sin α　

D．sin (2π＋α)＝sin α

【解析】 根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．

3．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋6，x∈R，且f(2 021)＝5，则f(2 020)等于(　D　)

A．4    B．5

C．6    D．7

【解析】 因为f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)＋6＝5，所以a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)＝－1，即a sin α＋b cos β＝1，则f(2 020)＝a sin (2 020π＋α)＋b cos (2 020π＋β)＋6＝a sin α＋b cos β＋6＝7.

4．已知sin ＝，则sin ＝(　D　)

A．    B．－

C．－    D．

【解析】 ∵sin ＝，

∴sin ＝sin ＝sin ＝.

5．设k为整数，化简：.

解：方法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，

则原式＝

＝＝＝－1；

当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.

方法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，

sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)，

sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α).

所以，原式＝＝－1.