人教A版 (2019)4.3 对数导学案

对数的运算

[课程目标] 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；2.掌握换底公式及其推论；3.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

知识点一　对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(MN)＝__logaM＋logaN__；

(2)loga＝__logaM－logaN__；

(3)logaMn＝__nlogaM__(n∈R).

[研读]注意公式的使用条件，真数为正数，底数相同，且不为1.

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)

(2)log624－log64＝1.(　√　)

(3)log58＋log5＝2.(　√　)

(4)log＝－.(　×　)

【解析】 (1)当a>0且a≠1，M>0，N>0时，loga(MN)＝logaM＋logaN才成立．

(2)log624－log64＝log6＝log66＝1.

(3)log58＋log5＝log5＝log525＝2.

(4)log ＝log＝log ()－2＝－2.

知识点二　对数换底公式

1．logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).

2．对数换底公式的重要推论：

(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).

(2)loganbm＝logab(a>0，且a≠1，b>0).

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).

[研读]有了换底公式，底数不相同的对数式也能进行计算了．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若loga2＝m，则log4a＝.(　√　)

(2)若lg 6＝a，lg 8＝b，则log68＝ab.(　×　)

(3)＝log43.(　√　)

(4)logab·logbc＝logac(a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1).(　√　)

【解析】 (1) log4a＝＝＝.

(2)log68＝＝.

(4)logab·logbc＝logab·＝logac(a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1).

计算：log2＋log212－log242＝__－__．

【解析】 原式＝log2－log2

＝log2＝log22－＝－.

活学活用

计算下列各式的值．

(1)lg－lg＋lg；

(2)log535－2log5＋log57－log51.8.

解：(1)原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg

＝lg(×)＝lg＝.

(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55

＝2log55＝2.

用logax，logay，logaz表示下列各式．

(1)logax－4；(2)loga(xy－1z2)；(3)loga.

解：(1)logax－4＝－4logax.

(2)loga(xy－1z2)＝logax＋logay－1＋logaz2＝logax－logay＋2logaz.

(3)loga＝loga－loga(y2z2)

＝logax－(logay2＋logaz2)

＝logax－2logay－2logaz.

活学活用

设3x＝4y＝36，则＋的值是__1__．

【解析】 x＝log336，y＝log436，则＋＝＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.

[规律方法]

1．对数运算性质的作用：

(1)利用对数的运算性质，可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数的和、差、倍数运算，反之亦然．

(2)通过对对数运算性质的灵活运用，能起到降幂、去分母、去根号的作用．

2．运用对数的运算性质时要注意的问题：

(1)注意三个性质的正用、逆用．

(2)在进行对数运算时，要判断能否使用运算性质．

(3)不要将“积、商、幂的对数”和“对数的积、商、幂”混淆．

【迁移探究】

计算下列各式的值：

(1)2(lg)2＋lg·lg 5＋；

(2)(lg 2)2＋lg 50×lg 2＋lg 25.

解：(1)原式＝lg(2lg ＋lg 5)＋

＝lg(lg 2＋lg 5)＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.

(2)原式＝(lg 2)2＋lg(52×2)×lg 2＋lg 52

＝(lg 2)2＋(2lg 5＋lg 2)×lg 2＋2lg 5

＝(2lg 5＋2lg 2)×lg 2＋2lg 5

＝2lg 10×lg 2＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2lg 10＝2.

若log34×log48×log8m＝log416，则m等于(　B　)

A．　　　　　　　　　　B．9

C．18    D．27

【解析】 由已知得××＝log416＝2，

所以＝2，所以log3m＝2，所以m＝32＝9.

活学活用

log 2＋log279＝____.

【解析】 原式＝＋＝＋＝.

计算下列各式的值．

(1)(log43＋log83)log32；

(2).

解：(1)原式＝×log32

＝×log32＝＋＝.

(2)原式＝·＝log·log9

＝－log32·log29

＝－log32×3log23＝－.

活学活用

求值：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258).

解：原式＝·

＝

＝log25·3log52

＝13log25·＝13.

[规律方法]

利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．

【迁移探究】

已知log189＝a，18b＝5.求log3645的值．

解：因为18b＝5，所以log185＝b，

所以log3645＝＝＝

＝＝.

解下列关于x的方程：

(1)log2x·log34·log59＝8；

(2)log5＝log5；

(3)＋lg x3－10＝0.

解：(1)因为log2x·log34·log59＝8，所以··＝8⇒lg x＝lg 25⇒x＝25.

(2)由等式可得，2x＋1＝x2－2>0⇒x＝3或x＝－1(舍).

(3)由＋lg x3－10＝0⇒＋3lg x－10＝0，

即＝0，解得x＝10－5或x＝102.

活学活用

解方程：＝lg 5－lg.

解：由等式可得，＋lg＝lg 5，

即lg＝lg 5，

故解得x＝15.

[规律方法]

解对数方程实质是转化，转化为两对数相等或转化为熟知的一元二次方程等．但求解过程中要注意对数的真数满足大于0的要求，舍掉增根．

【迁移探究】

已知lg x＋lg y＝2lg ，求的值．

解：由等式可得：解得x＝4y，故＝4.

1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的个数为(　A　)

①logax·logay＝loga(x＋y)；

②logax－logay＝loga(x－y)；

③loga＝logax÷logay；

④loga(xy)＝logax·logay.

A．0    B．1

C．2    D．3

【解析】 根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确．故选A.

2．等于(　B　)

A．B．

C．D．

【解析】 ＝＝log327＝.

3．若lg x－lg y＝m，则lg－lg等于(　D　)

A．B．m　

C．D．3m

【解析】 lg－lg＝3(lg x－lg 4)－3(lg y－lg 4)＝3(lg x－lg y)＝3m.

4．若实数a，b，c满足2a＝1 009b＝2 018c＝2 020，则下列式子正确的是(　B　)

A．＋＝B．＋＝

C．＋＝D．＋＝

【解析】 由2a＝1 009b＝2 018c＝2 020可得，

a＝log22 020⇒＝log20202.同理可得，＝log20201 009，＝log20202 018，所以＋＝，故选B.

5．计算log3＋lg 25＋lg 4＋7log72－＝__4__.

【解析】 原式＝log33＋lg(25×4)＋2－＝

＋2＋2－＝4.

6．解方程lg x＋2log10xx＝2.

解：因为lg x＋2log10xx＝lg x＋＝2，

所以＋lg x－2＝0，故＝0，

解得x＝10或x＝10－2.