高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案，共6页。

4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
[问题] 依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？


知识点一 对数的概念
1．定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
eq \a\vs4\al()
对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子lgmN中，底数m的范围是什么？
提示：m>0且m≠1.
2．对数式lgaN是不是lga与N的乘积？
提示：不是，lgaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数式lg32与lg23的意义一样．( )
(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为________．
答案：lgaM＝2
3．把对数式lga49＝2写成指数式为________．
答案：a2＝49
知识点二 对数的基本性质
1．负数和0没有对数；
2．lga1＝eq \a\vs4\al(0)(a>0，且a≠1)；
3．lgaa＝eq \a\vs4\al(1)(a>0，且a≠1)．
1．lg3eq \f(2x－1,5)＝0，则x＝________．
答案：3
2．ln(lg 10)＝________．
答案：0
[例1] (链接教科书第122页例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－2)＝16；
(3)lgeq \s\d9(\f(1,3))27＝－3; (4)lgeq \r(x)64＝－6.
[解] (1)∵3－2＝eq \f(1,9)，∴lg3eq \f(1,9)＝－2.
(2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－2)＝16，∴lgeq \s\d9(\f(1,4))16＝－2.
(3)∵lgeq \s\d9(\f(1,3))27＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－3)＝27.
(4)∵lgeq \s\d9(eq \r(x))64＝－6，∴(eq \r(x))－6＝64.
eq \a\vs4\al()
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟踪训练]
将下列指数式与对数式互化：
(1)lg216＝4; (2)lg eq \r(3)x＝6；
(3)43＝64; (4)3－3＝eq \f(1,27).
解：(1)因为lg216＝4，所以24＝16.
(2)因为lgeq \s\d9(eq \r(3))x＝6，所以(eq \r(3))6＝x.
(3)因为43＝64，所以lg464＝3.
(4)因为3－3＝eq \f(1,27)，所以lg3eq \f(1,27)＝－3.
[例2] (链接教科书第123页例2)求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；(2)lgx8＝6；(3)lg 100＝x.
[解] (1)x＝(64)eq \s\up6(－\f(2,3))＝(43)eq \s\up6(－\f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16).
(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq \s\up6(\f(1,6))＝8eq \s\up6(\f(1,6))＝(23)eq \s\up6(\f(1,6))＝2eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(2).
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
eq \a\vs4\al()
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟踪训练]
求下列各式中的x值：
(1)lg2x＝eq \f(1,2)；(2)lg216＝x；(3)lgx27＝3.
解：(1)∵lg2x＝eq \f(1,2)，∴x＝2eq \s\up6(\f(1,2))，∴x＝eq \r(2).
(2)∵lg216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵lgx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；
(2)lg3(lg x)＝1；
(3)lg3(lg4(lg5x))＝0.
[解] (1)∵lg2(lg5x)＝0，
∴lg5x＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由lg3(lg4(lg5x))＝0可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，∴x＝54＝625.
[母题探究]
(变条件)本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“lg3(lg4(lg5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由lg3(lg4(lg5x))＝1可得，lg4(lg5x)＝3，则lg5x＝43＝64，所以x＝564.
eq \a\vs4\al()
利用对数的基本性质求以下]2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值；
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解．
[跟踪训练]
求下列各式中的x的值：
(1)lg8[lg7(lg2x)]＝0；
(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1；
(3)3lg3(lg4(lg5x))＝1.
解：(1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0，得lg7(lg2x)＝1，
即lg2x＝7，∴x＝27.
(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1，∴lg3(lg2x)＝2，
∴lg2x＝9，∴x＝29.
(3)由3lg3(lg4(lg5x))＝1可得lg4(lg5x)＝1，
故lg5x＝4，∴x＝54＝625.
1．将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)＝9写成对数式，正确的是( )
A．lg9eq \f(1,3)＝－2 B．lgeq \s\d9(\f(1,3))9＝－2
C．lgeq \s\d9(\f(1,3))(－2)＝9 D．lg9(－2)＝eq \f(1,3)
解析：选B 根据对数的定义，得lgeq \s\d9(\f(1,3))9＝－2，故选B.
2．在b＝lga－2(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5)
C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4)
解析：选C 由对数的定义知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，))解得23．(多选)下列各式中正确的有( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝100
D．若lg25x＝eq \f(1,2)，则x＝±5
解析：选AB 对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为lg25x＝eq \f(1,2)，所以25eq \s\up6(\f(1,2))＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B.
4．已知lgx16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4
C．256 D．2
解析：选A 由lgx16＝2，得x2＝16又x>0，
∴x＝4.
5．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
解析：∵4a＝2，∴a＝eq \f(1,2).∵lg x＝a，∴x＝10a＝eq \r(10).
答案：eq \r(10)
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算
数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算
数学运算
指数式与对数式的互化
对数的计算
对数的性质