数学必修 第一册第4章 指数与对数本章综合与测试精品练习

这是一份数学必修 第一册第4章 指数与对数本章综合与测试精品练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十三) 一元二次不等式及其解法


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))


C．∅ D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)))))


D [(3x＋1)2≤0，


∴3x＋1＝0，∴x＝－eq \f(1,3)．]


2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于( )


A．{1,2,3} B．{1,2}


C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}


B [∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－eq \f(1,2)

又x∈N*且x≤5，则x＝1,2．]


3．若0

A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,t)\f(1,t)或x

C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,t)或x>t)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(t

D [0

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )


A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}


C．{x|－2

C [由题意知，－2＋3＝－eq \f(b,a)，－2×3＝eq \f(c,a)，∴b＝－a，c＝－6a，


∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，


∵a<0，∴x2－x－6<0，


∴(x－3)(x＋2)<0，∴－2

5．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )


A．0＜x＜2 B．－2＜x＜1


C．x＜－2或x＞1 D．－1＜x＜2


B [根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是－2＜x＜1．]


二、填空题


6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为 ．


{x|－4＜x＜1} [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4

7．若关于x的不等式－eq \f(1,2)x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是 ．


1 [将原不等式化为eq \f(1,2)x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0,2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1．]


8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为 ．


{a|a≤1} [A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x

若B⊆A，如图，则a≤1．


]


三、解答题


9．求下列不等式的解集：


(1)x2－5x＋6>0；


(2)－eq \f(1,2)x2＋3x－5>0．


[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．


(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅．





10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0．


[解] 原不等式可化为


[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，


讨论a＋1与2(a－1)的大小，


(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．


(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4．


(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x

综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，


当a＝3时，解集为{x|x≠4}，


当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x




1．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(1,4))))) B．R


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)

A [因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A．]


2．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )


A．{x|－2

B．{x|x>2或x<－1}


C．{x|x>1或x<－2}


D．{x|x<－1或x>1}


C [∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＝－2，,－\f(b,a)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))


∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，


解得x>1或x<－2．]


3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))≤x≤－\f(1,3)))，则不等式x2－bx－a＜0的解集是 ．


{x|2＜x＜3} [由题意知－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的根，且a＜0，由根与系数的关系，得


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(b,a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－eq \f(1,a)，解得a＝－6，b＝5，∴不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0的解集为{x|2＜x＜3}．]


4．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为 ．


－1＜a≤eq \f(11,5) [设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，


所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0．


若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，


即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2．


若A≠∅，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4a2－4a＋2≥0，,12－2a＋a＋2≥0，,32－3×2a＋a＋2≥0，,1≤a≤3，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥2或a≤－1，,a≤3，,a≤\f(11,5)，,1≤a≤3，))所以2≤a≤eq \f(11,5)．


综上，a的取值范围为－1＜a≤eq \f(11,5)．]


5．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．


[解] 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，


由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，


所以a<－1或a>eq \f(3,2)．


若a<－1，则－2a＋3－eq \f(a＋1,2)＝eq \f(5,2)(－a＋1)>5，


所以3－2a>eq \f(a＋1,2)，


此时不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,2)

若a>eq \f(3,2)，由－2a＋3－eq \f(a＋1,2)＝eq \f(5,2)(－a＋1)<－eq \f(5,4)，


所以3－2a

此时不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2a

综上，当a<－1时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,2)，3－2a))，当a>eq \f(3,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2a，\f(a＋1,2)))．