人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试精练

第九章  不等式与不等式组过关检测题（一）

一、单选题（33分）

1．若，则下列各式不成立的是（　　）

A． B．

C． D．

2．下列变形正确的是（　　）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

3．把不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．若 , 则   由小到大排列正确的是 (　　)

A． B． C． D．

5．下列说法正确的个数是（　　） 

⑴一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（2）当 时， 总是大于0；（3）若mn=0，则m、n中必有一个数为0；（4）如果 那么 一定有最小值-5.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m-n的结果可能是(　　)

A．-1 B．1 C．2 D．3

7．若不等式组 无解，则 取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

8．如果不等式组有解，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．若整数a是使得关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且使关于y的一元一次方程 ＝ ＋1的解满足y≤87.则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）  

A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17

10．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都收7元车费)，超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元(不足1千米按1千米计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是(　　)  

A．1＜x≤11 B．7＜x≤8 C．8＜x≤9 D．7＜x＜8

11．已知a，b为实数，则解集可以为-2<x<2的不等式组是（　　）  

A． B． C． D．

二、填空题（24分）

12．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：

[ )= ；[x)-x有最大值是0；[x)-x有最小值是-1；

x [x) x，

其中正确的是__________（填编号）.

13．任何实数a，可用 表示不超过a的最大整数，如 ，

现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行     次操作后变为1；只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是     .

14．关于的方程组 的解 与  满足条件，则的最大值是     ．

15．已知不等式组 的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为    

16．对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是       

三、解答题（共63分）

17．（8分）已知关于 的不等式组 的所有整数解的和为 ，求 的取值范围.

18．（9分）已知x，y同时满足x+3y＝4﹣a，x﹣5y＝3a.

（1）当a＝4时，求x﹣y的值；

（2）试说明对于任意给定的数a，x+y的值始终不变；

（3）若y＞1﹣m，3x﹣5≥m，且x只能取两个整数，求m的取值范围.

19．（12分）经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．

（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的利润是      元；

（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普通”杨梅各多少千克？

（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售总收入﹣总成本，利润率＝ ×100%）

20．（10分）已知 、 是整数，关于 的不等式 的最小整数解是8，关于 的不等式 的最大整数解为8. 

（1）求 、 的值；  

（2）若 ， ，求 的取值范围.  

21．（12分）在数学课上，陈老师向同学们提出了如下问题：

如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a>0）和|x|＜a（a>0）的解集．

同学们的探究过程如下：

先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如下：

先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：

（1）请将探究过程补充完整；

所以，|x|＞2的解集是x＞2或     ．

再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：    

所以，|x|＜2的解集为：         ．

经过大量特殊实例的实验，同学们得到绝对值不等式|x|＞a（a>0）的解集为            ，|x|＜a（a>0）的解集为         ．

请你根据同学们的探究过程及得出的结论，解决下列问题：

（2）求绝对值不等式2|x+1|-3＜5的解集．

22．（12分）定义：在同一平面内，平行于y轴且经过点（a，0）的直线叫做直线x=a；平行于x轴且经过点（0，b）的直线叫做直线y=b。若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”.在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线L平行于y轴.

（1）试判断点A（－1，a）是否是直线L的“伴侣点”？请说明理由；  

（2）若点P（2m－5，8）是直线L的“伴侣点”，求m的取值范围；  

（3）若点A（－1，a）、B（b，2a）、C（－ ，a－1）是平面直角坐标系中的三个点，将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F.若点F刚好落在直线L上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为 ，试判断点B是否是直线L的“伴侣点”？请说明理由.  

答案部分

1．D

解：A、根据不等式的性质（2），不等式两边同乘以3，不等号的方向不变．故该选项成立；

B、根据不等式的性质（1），不等式两边同加上5，不等号的方向不变．故该选项成立；

C、根据不等式的性质（1）和（2），不等式的两边同乘以，再同减去1，不等号的方向不变．故该选项成立；

D、根据不等式的性质（1）和（3），不等式两边同乘以-1，则不等号的方向改变，再同加上1，即有1-x＜1-y．故该选项不成立；

故答案为：D．

2．B

解：A、 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；

B、 如果 ，那么 ，故该选项正确，符合题意；

C、 如果 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意；

D、 如果 ，且 ，那么 ，故该选项不正确，不符合题意.

故答案为：B.

3．D

解：，

解不等式②，得： ，

所以不等式组的解集为

把不等式组的解集在数轴上表示出来为：

故答案为：D

4．C

解：∵ ,
∴<-1，0<a2<1，
∴<a<a2.
故答案为：C.
 

5．D

解：∵一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远,

∴（1）正确；

∵ ≥0，

∴当 时， 总是大于0，

∴（2）正确；

∵mn=0，

∴m=0或n=0，

∴（3）正确；

∵ ，

∴ 一定有最小值-5

∴（4）正确；

故答案为：D.

6．C

解：∵0<m<1，-2<n<-1，
∴1<-n<2，
∴1< m-n<3，
∴m-n的结果可能是2.
故答案为：C.
 

7．A

解：

解不等式①，得：

解不等式②，得： ，

因为不等式组无解，所以 ，

故答案为：A.

8．B

解：

由①得：

不等式组有解，

故答案为：B

9．A

解： ，

解不等式①得：x＜4，

解不等式②得：x≥ ，

∵该不等式组有且仅有4个整数解，

∴该不等式组的解集为： ≤x＜4，

∴-1＜ ≤0，

解得：-11＜a≤-5，

＝ ＋1，

去分母得：3（2y+a）=5（y-a）+15，

去括号得：6y+3a=5y-5a+15，

移项得：y=15-8a，

∵该方程的解满足y≤87，

∴15-8a≤87，

∴a≥-9，

∵-9≤a≤-5，

∴整数a为：-9，-8，-7，-6，-5，它们的和为-35，

故答案为：A.

10．B

解：已知从甲地到乙地共需支付车费19元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，

从而根据题意列出不等式 ，

从而得出7＜x≤8．

故答案为：B．

11．D

解：A、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，那么a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得x＞ ，x＜ ，∴原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改变后也无解，故错误，不符合题意；

B、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，那么a，b同号，设a＞0，则b＞0，解得x＞ ，x＜ ，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故错误，不符合题意；

C、理由同上，故错误，不符合题意；

D、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，那么a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得x＜ ，x＞ ，∴原不等式组有解，可能为-2＜x＜2，把2个数的符号全部改变后也如此，故正确，符合题意。

故答案为：D。

12． ③④

解：由定义知[x) x≤[x)+1，

①[ )=-9①不正确，

②[x)表示小于x的最大整数，[x) x，[x) -x 0没有最大值，②不正确

③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x) x有最小值是 1，③正确，

④由定义知[x) x≤[x)+1，

由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，

∵[x) x，

∴x [x) x，

④正确.

故答案为：③④.

13． 3；255

解：①∵根据定义， ，

∴对81只需进行3 次操作后变为1.

②设 ，x为正整数，则 ，

∴ ，即最大正整数是3.

设 ， 为正整数，则 ，

∴ ，即最大正整数是15.

设 ， 为正整数，则 ，

∴ ，即最大正整数是255.

∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.

故答案为：3，255.

14． 5

解： ，

由①+②得， ，

即 ，

∵ ，

∴ ，

解得： ，

∴当 时， 取到最大值，

∴最大值为： ；

故答案为：5.

15．

解：解不等式组 得 ，

根据不等式组 的解集是2＜x＜3，

可得2a-1=3，b+1=2，

解得a=2，b=1，

所以2x+1=0，

解得x=   .

16． 4≤a＜5

解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，

∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，

∴a的范围为4≤a＜5，

故答案为：4≤a＜5

17．

解： ，  

∵解不等式①得：x＞ ，

解不等式②得：x≤4，

∴不等式组的解集为 ＜x≤4，

∵关于x的不等式组 的所有整数解的和为7，

∴①当 ＞0时，这两个整数解一定是3和4，

∴2≤ ＜3，

∴7≤a＜9，

②当 ＜0时，-3≤ ＜−2，

∴-3≤a＜-1，

∴a的取值范围是7≤a＜9或-3≤a＜-1．

故答案为：7≤a＜9或-3≤a＜-1．

18．

（1）解：∵x，y同时满足x+3y＝4﹣a，x﹣5y＝3a.

∴两式相加得：2x﹣2y＝4+2a，

∴x﹣y＝2+a，

∴当a＝4时，x﹣y的值为6；

（2）解：若x+3y＝4﹣a ① ，x﹣5y＝3a ②.

则①×3+②得到：4x+4y＝12，

∴x+y＝3，

∴不论a取什么实数，x+y的值始终不变.

（3）解：∵x+y＝3，

∴y＝3﹣x，

∵y＞1﹣m，3x﹣5≥m，

∴ .

整理得 ，

∵x只能取两个整数，

故令整数的值为n，n+1，

有：n﹣1＜ ≤n，n+1＜m+2≤n+2.

故 ，

∴n﹣1＜3n﹣5且3n﹣8＜n，

∴2＜n＜4，

∴n＝3，

∴ ，

∴2＜m≤3.

19．

解：（1）由题意得：

110×150+（500-150-500×10％）×30-6×500-40×500=2500

（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，则有：

解得

答：售出“特优”杨梅250千克，“普通”杨梅470千克.

（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，则有：

解得：

20．

（1）解：∵为a、b是整数， 

∴a-2b、2a+3b-19也是整数，

由x+2b＞a解得：x＞a-2b，

由x-3b+19＜2a解得：x＜2a+3b-19，

∴由题意可得：

解得： .

（2）解：由题意得：

即：

解得

∴ 的取值范围是：

21．

解：（1） 对于画数轴如图：

所以有：

对于画数轴如图：

所以的解集为：-2＜x＜2；

对于画数轴如图：

∴ 的解集为：  x＞a或x＜-a；

同理，对于画数轴如图：

∴ 的解集为： -a＜x＜a

（2）∵2|x+1|-3＜5 

∴2|x+1|＜8

∴|x+1|＜4

∴-4＜x+1＜4

∴-5＜x＜3

∴原绝对值不等式的解集是：-5＜x＜3

22．

（1）解：∵A（−1，a），直线L：x＝1， 

∴点A到直线L的距离为2，2＞1，

∴点A不是直线L的“伴侣点”.

（2）解：若点P（2m－5，8）是直线L的“伴侣点”， 

则点P到一条直线的距离不大于1，

∴ ，

解得： ，

∴ m的取值范围为： .

（3）解：∵C（− ，a−1）平移到点F（1，a＋b），  

∴横坐标加 ，纵坐标加b＋1，

∴D（ ，a＋b＋1），E（b＋ ，2a＋b＋1），

∵点E落在x轴上，

∴2a＋b＋1＝0，

∵三角形MFD的面积为 ，

∴ • •|a＋b|＝ ，

∴a＋b＝± ，

∴分如下两种情况：

①当a＋b＝ 时，解得a＝− ，b＝2，

此时B（2，−3），点B是直线L的“伴侣点”.

②当a＋b＝− 时，a＝− ，b＝0，

此时B（0，−1），点B是直线L的“伴侣点”.