高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第一课时导学案

第一课时　直线与平面垂直的判定

木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．

[问题]　(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？

(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？

知识点一　直线与平面垂直

1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．

2．概念

3．性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

提示：不一定．

如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB⊂平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直．不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.

　直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　　　　　　　 B．相交

C．异面  D．垂直

解析：选A　因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，

又m⊂α，所以l⊥m，

所以直线l与m不可能平行．

知识点二　直线与平面垂直的判定定理

对线面垂直判定定理的再理解

(1)该定理有五个条件：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，这五个条件缺一不可．但对l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过a，b的交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面垂直的方法很灵活；

(2)“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直．　　　　

　定理中的“相交”能去掉吗？

提示：不能．

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)

A．平面OAB　　　　　　 B．平面OAC

C．平面OBC  D．平面ABC

解析：选C　由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.

2．(多选)下列说法中，正确的是(　　)

A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α

B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α

C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α

D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α

解析：选CD　对于A、B，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．C、D是正确的．故选C、D.

知识点三　斜线与平面所成的角

对斜线和平面所成的角的定义的理解

(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；

(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．　　　　

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；

AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；

AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．

解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.

答案：45°　45°　0°

[例1]　(链接教科书第151页例3)下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

[解析]　当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．

[答案]　③④

直线与平面垂直定义的“双向”作用

(1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直；

(2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．　　　　

[跟踪训练]

如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．

解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．

答案：①③④

[例2]　(链接教科书第152页练习2题)如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.

[证明]　∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，

∴SD⊥AC.

如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，

∴△ADS≌△BDS，

∴∠ADS＝∠BDS，

∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，

∴SD⊥平面ABC.

[母题探究]

(变条件，变设问)在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？

解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，

∴BD⊥AC.

又由例题知SD⊥BD.

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，

故BD⊥平面SAC.

线线垂直和线面垂直的相互转化

[跟踪训练]

1.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.证明：B1C⊥AB.

证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.

又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.

因为BC1∩AO＝O，所以B1C⊥平面ABO.

由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.

2.如图，在四面体PABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF.

证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝，

∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，

又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.

又EF⊥PB，EF∩CF＝F，

∴PB⊥平面CEF.

[例3]　(链接教科书第152页例4)如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．

[解]　由题意知A是M在平面ABC上的射影，

∴MA⊥平面ABC，

∴MC在平面CAB上的射影为AC.

∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．

又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，

∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.

在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.

在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.

即MC与平面CAB所成角的正弦值为.

求斜线与平面所成角的步骤

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．　　　　

[跟踪训练]

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：

(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；

(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．

解：(1)如图所示，连接DB，

∵D1D⊥平面ABCD，

∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，

则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．

∵DB＝AB，D1B＝AB，

∴cos∠D1BD＝＝，

即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.

(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，

∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角，

在Rt△EA1F中，

∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，

即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.

1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)

A．α∥β，且m⊂α　　　　　　　 B．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且n⊂β  D．m⊥n，且n∥β

解析：选B　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.

2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．

解析：如图所示，连接B1D1，

则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，

则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．

在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，

则∠BD1B1＝30°.

答案：30°

3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.

证明：∵ABCD为正方形，

∴AC⊥BO.

又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BB1，

又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1⊂平面BB1O，

∴AC⊥平面BB1O，

又EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.