人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第二课时导学案

第二课时　直线与平面垂直的性质

[问题]　(1)如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；

(2)如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由．

知识点一　直线与平面垂直的性质定理

在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？

提示：棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．

1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)

A．b∥α　　　　　　　 B．b⊂α

C．b⊥α  D．b与α相交

解析：选C　由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.

2.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.

解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

∴AF∥DE.

∵AF＝DE，

∴四边形ADEF是平行四边形．

∴EF＝AD＝6.

答案：6

知识点二　线面距与面面距

1．直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离．

2．平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(　　)

(2)到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　)

答案：(1)√　(2)×

2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)

A．1  B.

C．2  D．2

解析：选B　如图，连接AC，与DB交于点O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，

∴AC⊥平面BDD1B1.

∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.

∵AB＝2，∴AC＝2，

∴CO＝AC＝.

3．线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．

解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.

答案：4

[例1]　(链接教科书第155页练习3题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.

[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，

所以AD1⊥A1D.

又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.

因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.

又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

证明线线平行常用的方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；

(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．　　　　

[跟踪训练]

如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.

证明：AE∥MN.

证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.

因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.

又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.

因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.

又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，

所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.

[例2]　如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．

[解]　如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，连接GH，作OK⊥GH于点K.

∵四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD，H为AO的中点．

∵BD∥EF，BD⊄平面GFE，

∴BD∥平面GFE.

∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离．

∵BD⊥AC，∴EF⊥AC.

∵GC⊥平面ABCD，∴GC⊥EF.

∵GC∩AC＝C，∴EF⊥平面GCH.

∵OK⊂平面GCH，∴EF⊥OK.

∵OK⊥GH，GH∩EF＝H，

∴OK⊥平面GEF，即OK的长就是点B到平面GEF的距离．∵正方形ABCD的边长为4，CG＝2，

∴AC＝4，HO＝，HC＝3.

在Rt△HCG中，HG＝＝.

在Rt△GCH中，OK＝＝.

故点B到平面GEF的距离为.

[母题探究]

(变设问)若本例条件不变，如何求直线BD到平面GEF的距离呢？

解：先证明BD∥平面GEF，将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离，过程和答案与例题一致．

求点到平面的距离一般有两种方法

(1)构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；

(2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解．　　　　

[跟踪训练]

已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．

解析：选C　因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，

由等体积法可得VC1­AB1D1＝VA­B1C1D1，

即h·××22×sin 60°＝××××，

解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.

[例3]　斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．

(1)求证：EF⊥PB；

(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.

[证明]　(1)因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC.

又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

又因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.

又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，

所以AF⊥平面PBC.

又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP.

又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，

所以PB⊥平面AEF.

又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.

(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，

而l⊥平面AEF，所以PB∥l.

线线、线面垂直问题的解题策略

(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；

(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．　　　　

[跟踪训练]

如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.

(1)求证：AC⊥平面BCE；

(2)求证：AD⊥AE.

证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，

所以AC＝BC＝2，

所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.

因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，

所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.

又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，

所以AC⊥平面BCE.

(2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.

又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.

又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，

所以AD⊥平面ABEF.

又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.

1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(　　)

A．b⊥α　　　　　　　 B．b⊂α

C．b∥α  D．b∥α或b⊂α

解析：选D　当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直．因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b⊂α，故选D.

2.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)

A．2  B．3

C.  D．

解析：选D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.故选D.

3.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.

证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB.

由线面垂直的性质定理，得a∥l.