高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行学案

直线与直线平行

把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示．

[问题]　(1)为什么这些折痕互相平行？

(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？

知识点一　基本事实4

平行于同一条直线的两条直线平行．

1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(　　)

A．一定是异面直线　　　　 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线  D．不可能是相交直线

解析：选C　假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.

2．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．

解析：如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，∴MN綉AC，

由正方体的性质可得AC綉A′C′，

∴MN綉A′C′，

即MN与A′C′平行．

答案：平行

知识点二　等角定理

对等角定理的两点认识

(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；

(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．　　　　

　等角定理中，什么情况下两角互补？

提示：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，则这两个角互补．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)分别和两条异面直线平行的两条直线平行．(　　)

(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)

A．30°  B．150°

C．30°或150°  D．大小无法确定

解析：选C　当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.故选C.

[例1]　(链接教科书第134页例1)如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．

[证明]　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，

所以EF∥HG，EF＝HG，

所以四边形EFGH是平行四边形．

(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD.

因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.

又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．

证明空间两条直线平行的方法

(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；

(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；

(3)基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.　　　　

[跟踪训练]

1.如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.

证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，

所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.

所以四边形EBB′E′是平行四边形．

所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.

所以EE′∥FF′.

2．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．

证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.

∵E是AA1的中点，

∴EQ綉A1D1.

∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQ綉B1C1，

∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q.

又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綉C1F，

∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綉FD.

又B1E綉C1Q，∴B1E綉FD，

故四边形B1EDF为平行四边形.

[例2]　(链接教科书第135页练习3题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.

[证明]　因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.

又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.

所以四边形D1GBF为平行四边形．

所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.

所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，

所以∠BGC＝∠FD1E.

关于等角定理的应用

(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行；

(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补．　　　　

[跟踪训练]

1.在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，

求证：(1)EF綉E1F1；

(2)∠EA1F＝∠E1CF1.

证明：(1)连接BD，B1D1(图略)，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF綉BD，同理E1F1綉B1D1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AA1綉DD1，AA1綉BB1，所以B1B綉DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綉B1D1，所以EF綉E1F1.

(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M(图略)，因为MF1綉B1C1，B1C1綉BC，所以MF1綉BC，所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M綉EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1对应边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.

2.如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足＝＝.求证：△EFG∽△BCD.

证明：在△ABC中，∵＝，

∴EF∥BC，且＝.

同理，EG∥BD，且＝.∴＝.

又∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，

∴∠FEG＝∠CBD.

又＝，∴△EFG∽△BCD.

1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　)

A．60°　　　　　　 B．120°

C．30°  D．60°或120°

解析：选D　∵空间两个角α，β的两边对应平行，

∴这两个角相等或互补，

∵α＝60°，

∴β＝60°或120°.故选D.

2.如图所示，在三棱锥S ­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　 B．相交

C．异面  D．平行或异面

解析：选A　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.

证明：(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，

∴∠BMC＝∠B1M1C1.