人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念备课ppt课件

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1.理解递推公式的含义.2.掌握数列的前n项和公式及其应用.3.掌握递推公式的应用.4.体会数学抽象的过程,加强逻辑推理与数学运算能力的素养提升.
一、递推公式【问题思考】1.某会议室有若干排座位,每一排的座位数构成的数列设为{an}.从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.(如图)(1)第n排与第n-1排座位数有什么关系?提示:an=an-1+2(n∈N,且n≥2). (2)若第一排有7个座位,则数列{an}是怎样的一列数?提示:7,9,11,13,15,….
2.填空:数列的递推公式(1)定义:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.(2)两个条件:①已知数列的第1项(或前n项);②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.
3.做一做:数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(　　)
二、数列{an}的前n项和【问题思考】1.填空:(1)我们把数列{an}从第1项起到第 n 项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即 Sn=a1+a2+…+an .
2.做一做:设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(　　)A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=64-49=15.答案:A
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)已知数列{an}中有an=2an+1+1,就可以求出数列的任一项.( )(2)若已知数列{an}中,a1=1,an+2=an+1+an,则可以求出an.( )(3)已知数列{an}中,a1=-1,an=an-1+2(n≥2时),则a3=3.( )(4)an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N*.( )
【例1】 已知数列{an}满足a1=1,an+1= ,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.
反思感悟 1.在递推公式中令n=1,2,3,4,5,…,结合a1的值即可以求出数列的前几项.2.解答本题,归纳出通项公式是难点,在写出数列的前几项时,一般不对其化简,目的是利于观察规律,进而写出通项公式.
【变式训练1】 已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项并归纳出{an}的通项公式.解:∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15,a4=2×15+1=31,a5=2×31+1=63,a6=2×63+1=127.由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127,可以看出,给每一项均加上1,就变成了a1+1=22,a2+1=23,a3+1=24,a4+1=25,a5+1=26,a6+1=27,∴可猜想出:an+1=2n+1,∴an=2n+1-1.
【例2】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;当n≥2时, Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5,则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5)=2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5.当n=1时,a1=4×1-5=-1,依然成立.故an=4n-5.
反思感悟 已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤:(1)当n=1时,a1=S1.(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.(3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1[如本例(1)];如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式可分段表示为an= [如本例(2)].
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:1.忽视n∈N*这一条件致错.2.忽视二次函数图象的对称性只得到一个解致错.
因为n∈N*,所以当n=3或4时,数列{nan}的项最小.答案:3或4
防范措施 1.数列是特殊的函数,只是自变量的取值范围是正整数,在解题时应特别注意,如本例中,n∈N*,n=3或4时数列{nan}的项最小.2.若一个数列是递增数列,则其首项是这个数列的最小值;若一个数列是递减数列,则其首项是这个数列的最大值.此外,求数列的单调性有时需要结合函数的有关性质.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n,则a5=(　　)A.6B.8C.12D.20解析:数列{an}的前n项和Sn=n2-n,则a5=S5-S4=52-5-(42-4)=8.答案:B
3.在数列{an}中,若an+1-an-n=0,则a3 030-a3 029=　　　　　. 解析:由已知,得a3 030-a3 029-3 029=0,故a3 030-a3 029=3 029.答案:3 0294.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足lg2(Sn+1)=n+1,则{an}的通项公式为　 . 解析:由lg2(Sn+1)=n+1,知Sn=2n+1-1.当n=1时,a1=22-1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,