人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）课时练习

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1．(多选)下面对函数f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
解析：选ABD 结合指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)和对数函数y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x的图象易得C正确，A、B、D错误．
2．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析：选A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq \r(m（m＋8a）).
因为yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，
所以y1>y2.
故本年5月份甲食堂的营业额较高．
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)
C．y＝lg2x D．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
解析：选D 法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D.
法二：可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知选D.
4．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．
法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝lg3(5＋1)＝1＋lg32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.
5．(2021·安徽省级示范高中高一期中)若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>xeq \s\up6(\f(1,2))>lg x B．2x>lg x>xeq \s\up6(\f(1,2))
C．xeq \s\up6(\f(1,2))>2x>lg x D．lg x>xeq \s\up6(\f(1,2))>2x
解析：选A 如图所示，结合y＝2x，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>xeq \s\up6(\f(1,2))>lg x，故选A.
6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：甲
7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．
答案：y＝x2
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应．
答案：(4) (1) (3) (2)
9．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x)．
10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
你觉得哪种方案较好．(参考数据：(1＋9%)5≈1.538 6)
解：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10×(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．
∵15.386>15，∴方案二较好．
[B级 综合运用]
11．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
其中关于x呈对数型函数变化的变量是________，呈指数型函数变化的变量是________．
解析：根据三种模型的变化特点，观察题表中的数据可知，y2随x的增大而迅速增大，故呈指数型函数变化，y3随x的增大而增大，但变化缓慢，因此呈对数型函数变化．
答案：y3 y2
12.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于eq \f(1,5)；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
解析：由于函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,9)))，故函数的关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(t).
当t＝4时，y＝eq \f(16,81)＜eq \f(1,5)，故①正确；
当t＝1时，y＝eq \f(2,3)，减少eq \f(1,3)，当t＝2时，y＝eq \f(4,9)，减少eq \f(2,9)，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，解得t1＝lgeq \s\d9(\f(2,3))eq \f(1,2)，t2＝lgeq \s\d9(\f(2,3))eq \f(1,4)，t3＝lgeq \s\d9(\f(2,3))eq \f(1,8)，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：①③
13．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可得a＝________，b＝________．(取lg 2＝0.3进行计算)
解析：由模拟函数及散点图得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(alg 1.6＋b＝5，,alg 3.2＋b＝5.2，))
两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，
所以alg 2＝0.2，解得a＝eq \f(2,3)，
所以b＝5－eq \f(2,3)lg 1.6＝5－eq \f(2,3)(4lg 2－1)＝5－eq \f(2,3)×eq \f(1,5)＝eq \f(73,15).
答案：eq \f(2,3) eq \f(73,15)
14．假设有一套住房的房价从2011年的20万元上涨到2021年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2011年以来经过的年数．
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
解：(1)设f(t)＝kt＋b(k≠0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝20，,10k＋b＝40))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝20，,k＝2.))
∴P1＝f(t)＝2t＋20.
(2)设g(t)＝mat(a>0，且a≠1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝20，,ma10＝40))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝20，,a＝\r(10,2).))
∴P2＝g(t)＝20×(eq \r(10,2))t＝20×2eq \s\up6(\f(t,10)).
(3)图象如图．
表格中的数据如下表所示：
由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大．
[C级 拓展探究]
15．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．
解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2).))
所以f(x)＝eq \f(3,2)x＋eq \f(5,2)，x∈N.
(2)2021年预计年产量为f(7)＝eq \f(3,2)×7＋eq \f(5,2)＝13，
2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.
2021年的年产量为9.1万件．
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
地震强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
20eq \r(2)
40
40eq \r(2)
80
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44