高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步测试题，共5页。

1．函数f(x)＝eq \f(\r(x＋1),2x－1)的定义域为( )
A．[－1，0)∪(0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选A 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,2x－1≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x≠0.))
故函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选A.
2．已知a>0且a≠1，则函数y＝aeq \s\up6(\f(1,x))的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 设t＝eq \f(1,x)，则y＝at，其中t≠0.∵t≠0，∴at≠a0，即at≠1，又at>0，∴y>0且y≠1，即函数y＝aeq \s\up6(\f(1,x))的值域为(0，1)∪(1，＋∞)，故选C.
3．在同一坐标系中，函数y＝ax＋a与y＝ax的图象大致是( )
解析：选B 函数y＝ax＋a的图象经过(－1，0)和(0，a)两点，选项D错误；在图A中，由指数函数y＝ax的图象得a>1，由y＝ax＋a的图象得01，由y＝ax＋a的图象得a>1，选项B正确；在图C中，由指数函数y＝ax的图象得01，选项C错误．故选B.
4．(多选)下列说法正确的是( )
A．函数y＝3x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称
B．函数y＝3x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象关于x轴对称
C．函数y＝3x与y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象关于原点对称
D．函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称
解析：选ACD 易知函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)＝a－x的图象关于y轴对称，且函数y＝ax与y＝－ax的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图象关于原点对称，所以B说法错误．
5．(2021·湖南衡阳八中高一月考)设a，b，c，d均大于0，且均不等于1，y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序为( )
A．aC．b解析：选C 作出直线x＝1，如图所示．
直线x＝1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1，b)，(1，a)，(1，d)，(1，c)，因此a，b，c，d的大小顺序是b6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
解析：选C 由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C.
7．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3，4)．
答案：(3，4)
8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x＜0，,－2－x，x＞0，))则函数f(x)的值域是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；∵x＞0，∴－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．
答案：(－1，0)∪(0，1)
9．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝0.3eq \s\up6(\f(1,x－1))；
(2)y＝3eq \r(5x－1).
解：(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．由eq \f(1,x－1)≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥eq \f(1,5)，所以函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,5))))).由eq \r(5x－1)≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，所以a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知函数为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－1)(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＝2，所以函数的值域为(0，2]．
[B级 综合运用]
11．(2021·广东珠海高一月考)已知函数f(x)满足f(x＋1)的定义域是[0，31)，则f(2x)的定义域是( )
A．[1，32) B．[－1，30)
C．[0，5) D．(－∞，30]
解析：选C ∵f(x＋1)的定义域是[0，31)，即0≤x<31，∴1≤x＋1<32，∴f(x)的定义域是[1，32)，
∴f(2x)有意义必须满足20＝1≤2x<32＝25，∴0≤x<5.
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．函数f(x)＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数
B．函数f(x)＝2x－x2与x轴有且只有两个交点
C．函数y＝2|x|的最小值是1
D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称
解析：选CD 对于A，f(x)＝eq \f(1,x)在定义域上不具有单调性；对于B，在同一坐标系中，画出y＝2x与y＝x2的图象，有三个交点，故函数f(x)＝2x－x2与x轴有三个交点，一个负值，两个正值；对于C，因为|x|≥0，所以2|x|≥20＝1，所以函数y＝2|x|的最小值是1，正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，正确．故选C、D.
13．若函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|1－x|)＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
解析：作出函数g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|1－x|)
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x－1)，x≥1，,2x－1，x<1))的图象如图所示．
由图象可知0即m要使函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|1－x|)＋m的图象与x轴有公共点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋m≥0，,m<0，))解得－1≤m<0.
答案：[－1，0)
14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，作出g(x)＝|f(x)|的草图；
(3)在(2)的条件下，若方程g(x)－m＝0有一个实数根，写出m的取值范围．
解：(1)由图可得：f(0)＝1＋b＝－2，且f(2)＝a2＋b＝0，解得：a＝eq \r(3)，b＝－3.
(2)g(x)＝|f(x)|图象如图所示：
(3)若方程g(x)－m＝0有一个实数根，则g(x)的图象与直线y＝m只有一个交点，
由(2)中函数图象可得m＝0或m≥3.
[C级 拓展探究]
15．设f(x)＝3x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x).
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－π)＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－m)＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．