高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示综合训练题

3.1 函数的概念

考点一 区间的表示

【例1】(2019·全国高一)一般区间的表示设，且，规定如下:

【答案】               

【解析】(1).若,写成区间形式为

(2).若,写成区间形式为

(3).若,写成区间形式为

(4).若,写成区间形式为

故答案为: (1).     (2).     (3).     (4).

【举一反三】

1．(2019·全国高一课时练习)已知区间，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．

2．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：

(1)______；(2)______；(3)______．

【答案】           

【解析】(1)根据集合与区间的改写，可得．

(2)由或．

(3)由或．

3．(2019·全国高一课时练习)用区间表示下列集合：

______；______；

______；______.

【答案】               

【解析】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为.

考点二 函数的判断

【例2-1】(2020·浙江高一开学考试)下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.

故选：C．

【例2-2】(2019·浙江湖州.高一期中)下列对应关系是从集合到集合的函数的是(    )

A．，，：

B．，，：

C．，，：

D．，，：

【答案】D

【解析】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；

B. ，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；

C. ，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；

D. ，，：是函数关系.故选：D

【举一反三】

1．(2020·上海高一课时练习)如图所示，表示函数图像的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B．

2．(2020·上海高一课时练习)下列各图中能作为函数图像的是(    )．

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【答案】A

【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确；

对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误；

对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误；

故选：A

3．(2020·全国高一课时练习)判断下列对应是否为函数：

(1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；

(2)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；

(3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.

【答案】(1)不是；(2)是；(3)是

【解析】(1)根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；

(2)根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；

(3)根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；

考点三 定义域

【例3-1】(2020·上海高一开学考试)函数的定义域为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由，解得x≥且x≠2．

∴函数的定义域为．故选：C．

【例3-2】(2020·全国高一)已知的定义域为，

(1)求的定义域；

(2)求的定义域

【答案】(1)(3，5)；(2).

【解析】(1)的定义域为，，则，即的定义域为；

(2)的定义域为；由得，即的定义域为．

【举一反三】

1．(2019·浙江高一期中)函数的定义域是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D

2．(2019·内蒙古集宁一中高三月考)函数的定义域为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由 ，可得 ，

所以函数的定义域为 .故选A.

3．(2020·浙江高一课时练习)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．

【答案】

【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为

4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))设的定义域为，则函数的定义域是___________.

【答案】

【解析】∵函数的定义域为， ∴函数满足，

解不等式，得，即函数的定义域是，故选A

5．(2020·全国高一)已知函数的定义域为，求的定义域             .

【答案】

【解析】由题意，函数的定义域为，

则函数满足，解得，即，

即函数的定义域为.

6(2020·全国高一)已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域       .

【答案】∪.

【解析】由，得，即或，

解得x ≤ ，或.

∴函数的定义域为(-∞，]∪[，+∞).

考点四 解析式

【例4】(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f(x)的解析式.

(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；

(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；

(3).

【答案】(1)f(x)＝x＋3；(2)f(x)＝x2＋2x－2；(3)

【解析】(1)解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)

∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3

∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.

(2)设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1

即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.

(3)解，将原式中的x与互换，得.

于是得关于f(x)的方程组解得.

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)根据下列条件，求f(x)的解析式.

(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；

(2)f(2x＋1)＝6x＋5；

(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.

【答案】(1)或；(2)f(x)＝3x＋2；(3).

【解析】(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得

或

∴所求函数解析式为或

(2)设2x＋1＝t，则

∴f(x)＝3x＋2.

(3)将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，

∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，

2．(2020·全国高一)(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式；

(2)已知是二次函数，且满足，，求的解析式．

【答案】(1)或；(2)．

【解析】(1)设，则，

又，所以，，解得或，

因此，或；

(2)，则，

，即，

即，所以，解得.

因此，.

3．(2019·山西高一月考)(1)已知，求的解析式；

(2)已知，求的解析式．

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)由题意得：定义域为

设，则   

(2)由…①得：…②

①②联立消去得：

考点五  函数值

【例5】(2020·浙江高一课时练习)若函数，那么(    )

A．1 B．3 C．15 D．30

【答案】C

【解析】由于，当时，，故选C.

【举一反三】

1．(2020·浙江杭州 高二期末)已知，则(    )

A．15 B．21 C．3 D．0

【答案】D

【解析】根据的解析式，有.故选：D

2．(2020·上海高一课时练习)已知，则_________．

【答案】

【解析】，，

所以

故答案为：

3．(2020·全国高一课时练习)若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.

【答案】

【解析】.故答案为：

4．(2018·浙江下城.杭州高级中学高一期中)若函数，则______________．

【答案】-1

【解析】当时,故.

故答案为：

考点六 相等函数

【例6】(2019·内蒙古集宁一中高三月考)下列四组函数中,表示同一函数的是(   )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；

对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;

对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;

对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.

故选A.

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).

(1)y＝x－1和y＝；

(2)y＝x0和y＝1；

(3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；

(4)f(x)＝和g(x)＝.

【答案】(4)

【解析】(1)的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；

(2)的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；

(3)两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；

(4)因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数.

故答案为：(4)

2．(2020·全国高一课时练习)下列函数；；；与函数是同一函数的是________.

【答案】

【解析】定义域是，所以与函数不是同一函数；

定义域是，所以与函数不是同一函数；

，所以与函数是同一函数；

，所以与函数不是同一函数.

故答案为：

3．(2020·全国高一课时练习)下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.

①，；

②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

③，；

④，.

【答案】②

【解析】①，，存在对应两个的情况，所以不是A到B的函数；

②符合函数的定义，是A到B的函数；

③，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数；

④，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数.故答案为：②

考点七 分段函数

【例7-1】(2020·上海高一开学考试)已知函数，则的值为(    )

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【解析】由题意得,,,,所以,故选：A.

【例7-2】(2020·全国高一课时练习)设函数若f(a)＝4，则实数a＝( )

A．－4或－2 B．－4或2

C．－2或4 D．－2或2

【答案】B

【解析】当时，，解得；当时，，解得，

因为，所以，综上，或，故答案选

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)设，则等于(    )

A．1 B．0 C．2 D．-1

【答案】C

【解析】 ,.故选: C.

2．(2020·全国高一课时练习)已知函数y＝，则使函数值为的的值是(    )

A．或 B．或

C． D．或或

【答案】C

【解析】当时，令，得，解得；

当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.

综上所述，.故选：C.

3．(2020·全国高一课时练习)已知

(1)画出f(x)的图象；

(2)若，求x的值；

(3)若，求x的取值范围.

【答案】(1)作图见解析；(2)；(3)

【解析】(1)函数的对称轴，当时，；当时，；当时，，则f(x)的图象如图所示.

(2)等价于①或②或③

解①得，②③的解集都为

∴当时，.

(3)由于，结合此函数图象可知,使的x的取值范围是