人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数当堂检测题

4.2指数函数

考点一 指数函数的判断

【例1-1】(2019·河北桥西.邢台一中高一月考)下列函数中指数函数的个数是(    )

①    ②    ③    ④(为常数，，)

⑤    ⑥    ⑦

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；

对②：其指数为，不是，故不是指数函数；

对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；

对⑤：是幂函数，不是指数函数；

对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数；

对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；

综上，是指数函数的只有③④，故选：B.

【例1-2】(2019·河南中原.郑州一中高一开学考试)函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，则a的值为(    )

A．1 B．3 C．2 D．1或3

【答案】C

【解析】因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，故可得解得或，

当时，不是指数函数，舍去.故选：C.

【举一反三】

1．(2019·山东高三学业考试)函数是指数函数，则(    )

A．或 B． C． D．且

【答案】C

【解析】因为函数是指数函数所以，且，解得.故选：C.

2．(2019·呼和浩特开来中学高一期中)若函数是指数函数,则的值为(    )

A．2 B．-2 C． D．

【答案】D

【解析】∵函数f(x)＝(a﹣3)•ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，

∴f(x)＝8x，∴f()2，故选：D．

3．(2019·辽宁葫芦岛.高一月考)下列函数不是指数函数的是(     )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】指数函数是形如(且)的函数.
对于A：，系数不是1，所以不是指数函数；
对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数.故选：A.

考点二 定义域和值域

【例2-1】(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)定义域，值域为且；

(2)定义域，值域；(3)定义域，值域

【解析】(1)要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.

(2)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.

(3)函数的定义域为.因为，所以.

又，所以函数的值域为.

【例2-2】(2018·湖南开福.长沙一中高一月考)若函数的值域为[0，+∞)，则实数a的取值范围是_____．

【答案】(﹣∞，﹣2]

【解析】设，若函数的值域为，，则等价于，是值域的子集，，设，则，则，

，当对称轴，即时，不满足条件．

当，即时，则判别式△，即，则，

即实数的取值范围是，.故答案为：，

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域；

(1)；(2)；(3).

【答案】(1)定义域为R，值域为；(2)，；(3)，.

【解析】(1)的定义域为R，值域为.

(2)由知，故的定义域为；由知，故的值域为.

(3)的定义域为；由知，故的值域为.

2．(2020·全国高一课时练习)求下列函数的定义域与值域.

(1)(2)且

(3)

(4)

【答案】(1)定义域为；值域为；(2)定义域为R；值域为(－1，1)；(3)定义域为；值域为且；(4)定义域为；值域为.

【解析】(1)，解得：，

∴原函数的定义域为，

令，则∴原函数的值域为

(2)原函数的定义域为R.设，则，，

，，，即原函数的值域为.

(3)由得，所以函数定义域为，由得，

所以函数值域为且.

(4)由得，所以函数定义域为，由得，所以函数值域为.

3．(2020·河北新华.石家庄二中高二期末)若函数的值域为，则a的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，

当时，

函数的值域为，即故选：B

4．(2020·云南五华.昆明一中高三其他(理))设函数的定义域为A，函数的值域为B，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数定义域满足：，即，所以，

函数的值域，所以，故选：A.

5．(2019·湖南高一期中)若函数有最大值，则实数的值为(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于函数有最大值，所以，且当时，取得最大值为，故.故选：D

考点三 指数函数性质

【例3】(1)(2020·贵溪市实验中学高二期末(文))若函数单调递增,则实数a的取值范围是(    )

A． B． C．​ D．

(2)(2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中)已知函数，则不等式的解集为(　　)

A． B． C． D．

(3)(2019·湖北襄阳)如果，那么(  )

A． B．

C． D．

【答案】(1)B(2)B(3)C

【解析】(1)函数单调递增，解得

所以实数的取值范围是．故选：．

(2)可知函数为减函数，由，可得，

整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.

(3) 根据函数在是减函数，且，

所以，所以，故选C.

【举一反三】

1．(2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考)函数为增函数的区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵是减函数，在上递增，在上递减，

∴函数的增区间是．故选：C．

2．(2019·浙江柯城.衢州二中高三一模)已知定义在R上的函数m为实数)为偶函数，记，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】为偶函数，，，；；；在，上单调递减，

并且，，

．故选：．

3．(2020·浙江高一课时练习)设，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 ，
因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．故选：D．

4．(2020·永安市第三中学高二月考)若关于的方程有解，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得(当且仅当时等号成立)，解得故选D

5(2020·上海高一课时练习)已知函数，则该函数的单调递增区间是__________.

【答案】

【解析】由题得函数的定义域为.

设，

函数在单调递减，在单调递增，

函数在其定义域内单调递减，

所以在单调递增，在单调递减.故答案为：.

6．(2020·上海普陀.曹杨二中高一期末)函数的单调递增区间为________

【答案】

【解析】函数，

根据指数函数单调性可得，函数在单调递增，在单调递减，

所以函数的单调递增区间为.故答案为：

7．(2020·全国高一课时练习)比较下列各题中的两个值的大小．

(1)，；  

(2)，1；  

(3)，.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】(1)因为， ，

又指数函数为增函数，且，所以，即.

(2)，

(3)，，所以.

考点四 定点

【例4】(2020·浙江高一课时练习)函数(，且)的图象过定点，则点的坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.故选.

【举一反三】

1．(2019·涡阳县第九中学高二期末)函数的图象必经过点(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的图象过点，而函数的图象是把函数的图象向上平移1个单位，函数的图象必经过的点．故选：．

2．(2019·贵州省织金县第二中学高一期中)函数且过定点( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，所以函数且过定点．

3．(2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考)函数y=ax﹣1+2(a＞0且a≠1)图象一定过点( )

A．(1，1) B．(1，3) C．(2，0) D．(4，0)

【答案】B由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3，即函数的图象过定点(1，3)，故选B

考点五 图像

【例5-1】(2020·广东顺德一中高一期中)函数的图像可能是(    )．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过(0,1)点，所以排除A，

当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.

【例5-2】(2020·浙江高一课时练习)若函数的图像在第一、三、四象限内，则(    )

A． B．，且

C．，且 D．

【答案】B

【解析】因为函数的图像在第一、二象限内，

所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动，

因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，

所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故，

因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，

故，，故选：B.

【举一反三】

1．(2019·浙江高一期中)函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 (    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；

当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；

当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.故选：D

2．(2020·全国高一课时练习)在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是(    )

A．B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据选项中二次函数图象，可知，

根据选项中指数函数的图象，可知，所以，

所以二次函数的对称轴在轴左侧，且，

所以可排除B、C、D，只有A符合题意.故选：A.

3．(2020·上海高一课时练习)若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】指数函数过点,则函数过点,若图像不经过第二象限,则,即,故选：D

4．(2020·内蒙古集宁一中高二期末(理))若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________

【答案】

【解析】当时，做出图象，如下图所示，

直线与函数的图象有两个公共点时，.

故答案为: