2021学年3.2 函数的基本性质精练

3.2 函数的性质

考法一 性质法求单调性(单调区间)

【例1】(2020·全国高一课时练习)函数的减区间是(    )

A． B．

C．， D．

【答案】C

【解析】

由图象知单调减区间为，

【举一反三】

1.函数的单调递减区间为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，

二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选：A．

2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A. y＝1    B. y＝－ ＋2    C. y＝－x2－2x－1    D. y＝1＋x2

【答案】B

【解析】y=1 在区间(－∞,0)上不增不减; y=－+2在区间(－∞,0)上单调递增; y=－x2－2x－1在区间(－∞,0)上有增有减; y=1+x2在区间(－∞,0)上单调递减;所以选B.

3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是(　　)

A. 递减函数    B. 递增函数

C. 先递减再递增    D. 先递增再递减

【答案】C

【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.

考法二 定义法求单调性(单调区间)

【例2】(2020·全国高一课时练习)求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.

【答案】证明见详解.

【解析】证明：在区间上任取，

则

因为，故可得；又因为，故可得.

故，即.故在区间上单调递增.

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)证明在其定义域上是增函数.

【答案】证明见解析；

【解析】证明：函数的定义域为设且，

因为，所以，所以，即

所以在其定义域上是增函数.

2．(2020·浙江高一课时练习)用定义法证明函数在定义域内是减函数．

【答案】见解析

【解析】设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2；

则f(x1)–f(x2)=–x1–(–x2)=–+(x2–x1)

=+(x2–x1)=(x1–x2)(–1)

∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1<0，

则f(x1)–f(x2)<0，

∴函数在R上是减函数．

考法三 图像法求单调性(单调区间)

【例3】(2020·全国高一)求下列函数的单调区间．

(1)f(x)＝3|x|；

(2)f(x)＝|x2＋2x－3|．

【答案】(1)减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；

(2)增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．

【解析】(1)由题意，函数，图象如图所示，

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．

(2)令，

作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，

即可得到函数的图象，如图所示．

由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；

函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．

【举一反三】

1．(2020·全国高一专题练习)求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

(1)f(x)＝－；

(2)f(x)＝

(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

【答案】(1)单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；(3)单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

【解析】(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，

其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，

所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，

并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．

f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．

考法四 利用单调性求参数

【例4】(1)(2020·浙江高一课时练习)若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 (    )

A． B． C． D．

(2)(2020·辽阳市第四高级中学高三月考)已知奇函数是定义域上的减函数，若，求实数的取值范围            .

【答案】(1)D(2).

【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a的取值范围是(0,1]

(2)由，得，

又为奇函数，得，∴，

又是定义域上的减函数，所以，

所以，所以实数的取值范围为.

【举一反三】

1．(2020·开鲁县第一中学高二期末(文))函数在上是减函数．则(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B．

2．(2020·浙江高一课时练习)已知 在区间 上是增函数，则的范围是(     )

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】∵函数f(x)＝x2+2(a﹣2)x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线，

若函数f(x)＝x2+2(a﹣2)x+5在区间[4，+∞)上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2．故选：B．

3．(2020·全国高一课时练习)若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.

考法五 奇偶性的判断

【例5】(2020·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝2x＋；　　　　　　(2)f(x)＝2－|x|；

(3)f(x)＝＋；  (4)f(x)＝.

【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既是奇函数又是偶函数；(4)非奇非偶函数.

【解析】(1)函数的定义域为，由，

所以函数为奇函数

(2)函数的定义域为由所以函数为偶函数

(3)由，所以函数的定义域为

又，所以函数既是奇函数又是偶函数

(4)由，所以函数的定义域为

因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.

【举一反三】

1(2020·全国)判断下列函数的奇偶性:

(1);(2);(3);(4).

【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.

【解析】(1)函数的定义域为{且},定义域不关于原点对称,

∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.

(2) 的定义域是.

当时,显然,.

,是奇函数.

 (3)的定义域为R.

,,.

不是偶函数.又,不是奇函数.

既不是奇函数也不是偶函数.

(4) 的定义域为R.

,

是偶函数.

2．(2020·浙江高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：

(1)．

(2)．

(3)．

(4)

【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数；(2)既是奇函数又是偶函数；(3)偶函数；(4)奇函数.

【解析】(1)由得，∴函数的定义域为，

不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．

(2)由得，即．

∴函数的定义域是，关于原点对称．

又，∴既是奇函数又是偶函数．

(3)函数的定义域为，关于原点对称．

又∵，

∴是偶函数．

(4)当时，，则

，

当时，，则

综上，对，都有． ∴为奇函数．

考法六 利用奇偶性求解析式

【例6】(1)(2020·陕西渭滨.高二期末(文))已知是上的奇函数，且当时，，则当时，      。

(2)已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．

【答案】(1)(2)f(x)＝x2+2x

【解析】由题意，设，则，则，

因为函数为上的奇函数，则，得，

 即当时，.

(2)当x＜0时，﹣x＞0，∴f(﹣x)＝x2+2x，又f(x)是偶函数，∴当x＜0时，f(x)＝f(﹣x)＝x2+2x．故答案为：f(x)＝x2+2x．

【举一反三】

1．(2020·全国高一课时练习)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．

【答案】

【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；

则当时，.故答案为：.

2．(2018·上海市澄衷高级中学高一期中)已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______.

【答案】

【解析】当时，，则.

函数为偶函数，此时.故答案为：.

考法七  利用奇偶性求参数

【例7】(1)(2020·全国高一课时练习)函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.

(2)(2020·全国高一课时练习)若函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，则实数a的值为           。

(3)(2019·浙江高二期末)若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为(　　)

A．1 B．0 C．－1 D．±1

【答案】(1)1(2)1或(3)B

【解析】(1)由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.

(2)：∵函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，∴f(﹣x)＝f(x)，

即f(﹣x)＝ax2﹣(2a2﹣a﹣1)x+1＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1，

即﹣(2a2﹣a﹣1)＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，

(3)由题意，函数是定义域R上的奇函数，

根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.

【举一反三】

1．如果定义在区间上的函数为奇函数，则 ___．

【答案】8

【解析】因为为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称

即解得

2．(2019·江苏沭阳.高三期中)已知函数为偶函数，则的值为__________.

【答案】

【解析】因为函数为偶函数,

故,故恒成立.故.故,则.故答案为：

3．(2020·全国高一课时练习)判断函数f(x)＝x＋ (a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．

【答案】为奇函数，证明见解析.

【解析】为奇函数，证明如下：的定义域为{x|x≠0}．

对于任意x≠0，，∴为奇函数．

考法八 单调性与奇偶性的综合运用

【例8-1】(2020·宁夏兴庆.银川一中高二期末(文))已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】    为定义在上的偶函数，图象关于轴对称

又在上是增函数    在上是减函数

    ，即

对于恒成立    在上恒成立

，即的取值范围为：

本题正确选项：

【例8-2】(2020·浙江高一课时练习)函数的最大值是：(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

故函数的最大值为：.故答案为：A.

【举一反三】

1．(2020·四川成都高一月考(理))已知函数，则函数的最小值为(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】在区间上任取，且，

，

，，则，，

又，，即，

函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递增，

所以函数在处取得最小值，最小值为.故选：C

2．(2020·吉林公主岭.高一期末(理))已知是定义在上的奇函数,且.

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性,并用定义加以证明.

【答案】(1) (2) 在上单调递增.见解析

【解析】(1)∵为奇函数,∴,∴.

由,得, 

∴.

(2)在上单调递增.

证明如下:

设,则

∵,∴,,∴,

∴,∴在上单调递增.

3．(2020·浙江高一课时练习)设函数是上的奇函数，当时，．

(1)求的表达式．

(2)求证在区间上是增函数．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)当时，，∴．

∵是奇函数，∴，

∴，

∴

(2)设任意的，，且，则

．

∵，∴，，

∴，∴，

∴是上的增函数．