课题

《复数的三角表示》

教学目标

1.  知识目标

知道复数的三角表示式的含义，能将复数的代数形式化成复数的三角形式，会将复数的三角形式化成复数的代数形式，通过本节的学习，进一步认识复数，理解复数概念

2. 能力目标

通过对复数的三角表示，培养学生数形结合思维

3.   情感目标

通过对复数的三角表示，培养学生多角度考虑问题的意识，进而与其他知识产生联系

教学重点

复数的三角表示式，复数的代数形式与复数的三角形式的互化

教学难点

复数的三角表示式的理解

教学准备

教师准备：多媒体课件、学情分析、学生分析

学生准备：预习复数的三角表示内容

教学过程

一、新课导入

前面我们研究了复数a+bi及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示- -复 数的三角表示.它可以帮助我们进一步认识复数，同时能给复数的运算带来便利.
复数z=a+bi一一对应向量OZ(a,b)一一对应点Z(a,b)

二、探究学习
如图，复数z=a+bi与向量=(a. b)一一对应，复数z由向量的坐标(a, b)唯一确定.我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢?如何表示?
向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢?由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角 θ来刻画之的方向.

你能用向量OZ的模和角θ来表示复数z吗?
记向量的模|OZ|=|a+bi|=r，由图可以得到，
a=rcos θ
b=rsin θ
所以a+bi=rcos θ+irsin θ= r(cos θ+ isin θ)，其中r=√a^2+b^2， cos  θ=a/r

a+bi=rcos θ+irsin θ=r(cos θ+ isin θ)，
一般地，任何一个复数z=a +bi都可以表示成r(cos  θ+isin  θ)的形式.
其中，r是复数z的模;
θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角.
r(cos  θ十isin  θ)叫做复数z=a +bi的三角表示式，简称三角形式.
a +bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
 

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.如图，θ+2kπ(k∈N)， 都是复数:的辐角.
我们规定在0≤0<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值. 通常记作arg z，即0≤arg z<2π.
例如，arg 1=0,
arg i=π/2
arg( -1)=π

arg( -i)=（3π）/2
 

复数代数形式与三角形式的互化
a+bi →r=， cos  θ=a/r，sinθ=b/r，a=r cos  θ，b=rsinθ→r(cos θ+ isin 0)
 

复数相等
思考
两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等?

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
非零复数z1 =r1(cosθ1 + isinθ2),z2 =r2(cosθ2 +isinθ2),其中argz1=θ1, argz2 =θ2.
z1=z2←→r1=r2且θ1=θ2

三、巩固提升

例画出下列复 数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式



2. 1-i.

解: 1.复数对应的向量如图所示，则

 

cosθ=1/2

因为与复数对应的点在第一象限，所以

2.复数1-i对应的向量如图所示，则


因为与1-i对应的点在第四象限，所以arg(1-i)=(7π)/4.


 

四、课堂小结

课后作业

必做题：86页练习1,2,3.
选作题：89页习题7.3 1，2.

板书设计

复数的三角表示

复习导入

探究学习

巩固提升

课堂小结