2020-2021学年1.2.3 直线与平面的夹角复习练习题

课时分层作业(六)　直线与平面的夹角

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角正弦值为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1,1,1)，＝(1,0,0)，

设直线AD与平面A1BC1所成角为θ，

∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝．]

2．OA、OB、OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为(　　)

A．　　　B．  C．　　　D．

B　[设OC与平面OAB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝．]

3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．120°

A　[∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，该长方体的体积为8，

∴2×2×AA1＝8，解得AA1＝2，

以D为原点，DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

A(2,0,0)，C1(0,2,2)，＝(－2,2,2)，

平面BB1C1C的法向量n＝(0,1,0)，

设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，

sin θ＝＝＝，∴θ＝30°，

∴直线AC1与平面BB1C1C所成的角为30°．故选A．]

4．在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O是AC的中点，OP⊥底面ABC．现以点O为原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为(　　)

A．　　　    B．

C．   D．

A　[因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．设AB＝a，则PA＝2a，OP＝a，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0，a)．∴＝(a,0，－a)，＝(0，a，－a)，＝(－a，－a,0)．

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则

，即，

令x＝1，则y＝－1，z＝－，所以平面PBC的一个法向量为n＝，所以cos〈，n〉＝＝，所以PA与平面PBC所成角的正弦值为．]

5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(　　)

A．　　　   B．

C．　　　   D．

A　[以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(，1,0)，A1(，1,3)，B1(0,2,3)，C1(0,0,3)，

＝(0,0,3)，＝(－，1,3)，＝(－，－1,3)，

设平面AB1C1的法向量n＝(x，y，z)，

则

取x＝，得n＝(，0,1)，

设AA1与平面AB1C1所成的角θ，

则sin θ＝＝＝，∴θ＝．

∴AA1与平面AB1C1所成的角为．故选A．]

二、填空题

6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．

45°　[作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，

则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2．在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝．在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝．

∴∠CMO＝45°．]

7．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD⊥平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．

　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,1,0)，D1(－1，0,1)，

＝(－2，－1,1)，平面A1B1CD的法向量n＝(1,0,0)，

设直线BD1与平面A1B1CD所成角为θ，

则sin θ＝＝，

∴cos θ＝＝，

∴直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是tan θ＝＝．]

8．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．

　[如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1分别为x轴、z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1，则A，B1，

所以＝．

平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，

则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为

sin α＝|cos〈，n〉|＝＝．]

三、解答题

9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E、F分别是PC、AD中点．

(1)求证：DE∥平面PFB；

(2)求PB与平面PCD所成角的正切值．

[解]　(1)证明：取PB的中点M，连接EM，FM，

∵E，M分别是PC，PB的中点，

∴EM∥BC，EM＝BC，

∵四边形ABCD是正方形，

F是AD的中点，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴四边形DEMF是平行四边形，∴DE∥FM，

又DE⊄平面PFB，FM⊂平面PFB，

∴DE∥平面PFB．

(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，

又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PCD．

∴∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角，

∵PD＝DC＝BC，

∴PC＝CD＝BC，

∴tan∠BPC＝＝．

10．在如图所示的多面体ABCDE，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形．AD＝DE＝2AB＝2，EC＝2，F是CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值．

[解]　(1)证明：以A为原点，在平面ACD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，F，

B(0,0,1)，E(0,2,2)，

＝，＝(，1，－1)，＝(0,2,1)，

设平面BCE的法向量n＝(x，y，z)，

则

取y＝1，得n＝(－，1，－2)，

∵·n＝0，AF⊄平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

(2)＝(0,2,0)，平面BCE的法向量n＝(－，1，－2)，

设直线AD与平面BCE所成角为θ，

则sin θ＝＝＝．

∴直线AD与平面BCE所成角的正弦值为．

11．(多选题)已知四棱锥P­ABCD的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则PA与底面ABCD所成角的正弦值为(　　)

A．　　　B．  C．　　　D．

BC　[由已知可得，四棱锥P­ABCD为正四棱锥，

∵正四棱锥外接球的表面积为，

∴正四棱锥外接球的半径R＝．

如图，连接AC，BD交于E，设球心为O，连接PO，BO，

则E在PO(或其延长线)上，PO＝BO＝R，

∴BE＝BD＝×2＝，

又R＝，OE＝＝＝．

∴PE＝R－OE＝－＝或PE＝R＋OE＝＋＝4．

当PE＝时，PA＝＝，

PA与底面ABCD所成角的正弦值为＝；

当PE＝4时，PA＝＝3，

PA与底面ABCD所成角的正弦值为＝．

∴PA与底面ABCD所成角的正弦值为或．]

12．在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若△OAB是正三角形，O1C⊥AB，则OC与平面OAB所成角为(　　)

A．150°　　　B．30°  C．45°　　　D．60°

B　[设AB＝2a，则OA＝2a，O1A＝O1B＝O1C＝a，

∴OO1＝＝a，OC＝＝2a，

∵CO1⊥AB，CO1⊥OO1，AB∩OO1＝O1，

∴CO1⊥平面AOB，

∴∠COO1是OC与平面OAB所成角，

sin∠COO1＝＝，∴∠COO1＝30°，

∴OC与平面OAB所成角为30°．]

13．(一题两空)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，则直线CD1与C1F所成角的余弦值为________，直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为________．

　　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝2，则C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，

∴＝(0，－2,2)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,2)，＝(1,0，－2)，

cos〈，〉＝

＝＝＝．

设平面A1C1FE的法向量n＝(x，y，z)，

则取z＝1，得n＝(2,2,1)，

设直线CD1与平面A1C1FE所成角为θ，

则sin θ＝＝＝．

∴直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为．]

14．在空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝4．则PC和平面PAB所成角的正切值为________．

　[取AB的中点为O，连接CO，PO，

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥OC，

∵AC＝BC，O是AB的中点，

∴AB⊥OC，

又PA∩AB＝A，∴CO⊥平面PAB，

则∠CPO为PC和平面PAB所成的角．∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，

∴AB＝2，CO＝AB＝，

∴PO＝＝3，

∴tan∠CPO＝＝，

∴PC和平面PAB所成角的正切值为．]

15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．

(1)求证：平面ADE⊥平面BFED；

(2)若P为线段EF上一点，直线AD与平面PAB所成的角为θ，求θ的最大值．

[解]　(1)证明：取AB的中点G，连接DG，

则CDAB，

∴CDBG，

∴四边形BCDG是平行四边形，

∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，

又平面ABCD⊥平面BFED，

且平面ABCD∩平面BFED＝BD，

∴AD⊥平面BFED，

又AD⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BFED．

(2)由于BFED是矩形，

∴BD⊥DE，

由(1)知AD⊥平面BFED，

以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2，0)，＝(2,0,0)，

设点P(0，t,2)，＝(－2,2，0)，＝(－2，t,2)，

令平面PAB的法向量m＝(x，y，z)，

∴取y＝2，

得平面PAB的一个法向量为m＝(2，2,2－t)，

∴sin θ＝＝，

当t＝2时，(sin θ)max＝，∴θmax＝．

∴θ的最大值为．