初中数学北师大版八年级下册2 不等式的基本性质教案设计

这是一份初中数学北师大版八年级下册2 不等式的基本性质教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学准备，教学过程，作业布置，板书设计等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
一、教学知识点
1．探索并掌握不等式的基本性质；
2．理解不等式与等式性质的联系与区别。
二、能力训练要求
通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力。
三、情感与价值观要求
通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与
交流。
【教学重点】
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用。
【教学难点】
能根据不等式的基本性质进行化简。
【教学方法】
类推探究法
即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质。
【教学准备】
投影片两张
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课
［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
［生］记得。
等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式。
［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证。
二、新课讲授
1．不等式基本性质的推导
［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法。
［生］∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a＜5+a
3－a＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
［师］很好。不等式的这一条性质和等式的性质相似。下面继续进行探究。
［生］∵3＜5
∴3×2＜5×2
3×＜5×。
所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变。
［生］不对。
如3＜5
3×（－2）＞5×（－2）
所以上面的总结是错的。
［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明。
［生］如3＜4
3×3＜4×3
3×＜4×
3×（－3）＞4×（－3）
3×（－）＞4×（－）
3×（－5）＞4×（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变。
［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导。
［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变。
［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用。
2．用不等式的基本性质解释＞的正确性
［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有＞存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？
［生］∵4π＜16
∴＞
根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得
＞
3．例题讲解
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5＞－1；
（2）－2x＞3；
（3）3x＜－9．
［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
x＞－1+5
即x＞4；
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得
x＜－；
（3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得
x＜－3．
说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否。
4．议一议
讨论下列式子的正确与错误。
（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c；
（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c；
（3）如果a＜b，那么ac＜bc；
（4）如果a＜b，且c≠0，那么＞。
［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否。在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负。
本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流。
（1）正确∵a＜b，在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c；∴结论正确。
（2）同上可知，正确。
（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得ac＜bc，所以正确。
（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得＜ 所以结论错误。
［师］大家同意这位同学的做法吗？
［生］不同意。
［师］能说出理由吗？
［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b，两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正的还是负的，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc，正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号。而结论ac＜bC．只指出了其中一种情况，故结论错误。
在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0，但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0，则有＜，若 c＜0，则有＞，而他只说出了一种情况，所以结果错误。
［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？
［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否。
［师］非常棒。我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行。
［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条。
区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变。
联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况。且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似。
三、课堂练习
1．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式。
（1）x－1＞2 （2）－x＜
［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3
（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－
2．已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6；
（2）3x＜3y；
（3）－2x＜－2y。
解：（1）∵x＞y，∴x－6＞y－6．∴不等式不成立；
（2）∵x＞y，∴3x＞3y∴不等式不成立；
（3）∵x＞y，∴－2x＜－2y∴不等式一定成立。
3．设a＞b，用“＜”或“＞”号填空。
（1）a+1 b+1；（2）a－3 b－3；
（3）3a 3b；（4） ；
（5）－ －；（6）－a －B．
分析：∵a＞b
根据不等式的基本性质1，两边同时加上1或减去3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号的方向不变；
在（3）、（4）中根据不等式的基本性质2，两边同时乘以3或除以4，不等号的方向
不变；
在（5）、（6）中根据不等式的基本性质3，两边同时乘以－或－1，不等号的方向
改变。
解：（1）a+1＞b+1；（2）a－3＞b－3；
（3）3a＞3b；（4）＞；
（5）－＜－；（6）－a＜－B．
四、课时小结
1．本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质。
2．利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空。
【作业布置】
活动与探究
1．比较a与－a的大小。
解：当a＞0时，a＞－a；
当a=0时，a=－a；
当a＜0时，a＜－A．
说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论。
2．有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？
解：原来的两位数为10b+A．
调换后的两位数为10a+B．
根据题意得10a+b＞10b+A．
根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b
两边同时减去b，得9a＞9b
根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞B．
【板书设计】
不等式的基本性质
1．不等式的基本性质的推导。
2．用不等式的基本性质解释＞。
3．例题讲解。
4．议一议
练习
小结
作业
参考练习
1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3；（2）6x＜5x－1；
（3）x＞5；（4）－4x＞3．
2．设a＞B．用“＜”或“＞”号填空。
（1）a－3 b－3；（2） ；
（3）－4a －4b；（4）5a 5b；
（5）当a＞0，b 0时，ab＞0；
（6）当a＞0，b 0时，ab＜0；
（7）当a＜0，b 0时，ab＞0；
（8）当a＜0，b 0时，ab＜0.
参考答案：
1．（1）x＜5；（2）x＜－1；
（3）x＞10；（4）x＜－。
2．（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞。