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八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组2 不等式的基本性质精练
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这是一份八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组2 不等式的基本性质精练，共26页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
\l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 2
\l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 2
\l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 2
\l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 3
\l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 4
\l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 5
\l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 6
\l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 6
【知识点1 认识不等式】
定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的概念及意义】
【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ）
A．x+4y＝3B．xC．x+yD．x﹣3＞0
【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15g
C．6.15g及以上D．不足6.15g
【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有 个．
【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（ ）
A．x+2＜4B．13x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞10
【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．
（1）0是这个不等式的一个解： ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解： ；
（3）0不是这个不等式的解： .
【题型3 根据实际问题列出不等式】
【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（ ）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32
【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为 ．
【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是 ．
【题型4 在数轴上表示不等式】
【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 ．
【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ ．
【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式
（1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3．
【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．3﹣a＞3﹣bB．a2＜abC．2a＜2bD．−a3＞−b3
【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b
【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有 （填序号）．
①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．
【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）
（6）若a＞b＞0，则1a＜1b． ．
【题型6 利用不等式性质比较大小】
【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3 1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空
（1）a﹣4 b﹣4
（2）a5 b5
（3）﹣2a ﹣2b．
【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：
（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【题型7 利用不等式性质化简不等式】
【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．
【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．
（1）13x＞−23x﹣2（2）12x≤12（6﹣x）
【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）15x＜25．
【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】
【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
②已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据： ）
即﹣ac＞﹣bc
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据： ）
合并同类项可得：bc＞ac
即：ac＜bc得证．
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．
【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．
【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 ．
【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D＜B＜A＜CB．B＜D＜C＜AC．B＜A＜D＜CD．B＜C＜D＜A
【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1 S2（填“＞，＜或＝”）．
【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均
专题2.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
\l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 3
\l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 4
\l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 6
\l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 8
\l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 10
\l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 14
\l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 17
\l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 19
【知识点1 认识不等式】
定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的概念及意义】
【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【分析】主要依据不等式的定义──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来解答．
【详解】解：因为除③x＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等号，都是不等式，共4个．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠．
【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ）
A．x+4y＝3B．xC．x+yD．x﹣3＞0
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此选项不符合题意；
B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；
C、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；
D、x﹣3＞0是不等式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等．
【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15g
C．6.15g及以上D．不足6.15g
【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可．
【详解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白质含量≥3%，
∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，
【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键．
【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 ．
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有 4 个．
【分析】解得不等式后根据x的取值范围确定个数即可．
【详解】解：解1﹣2x＞0，
解得：x＜12，
满足x＜12的有﹣2、﹣1.5、﹣1、0共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了不等式的解集的知识，解答时也可以将x的值代入看能否满足不等式，满足可以，否则不可以．
【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（ ）
A．x+2＜4B．13x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞10
【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得答案．
【详解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；
B、x＞9，故B 不是不等式的解；
C、x＜2，故C不是不等式的解；
D、x＞83，故D是不等式的解．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解集，先解不等式，再选出答案．
【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．
【详解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的数，
∴3是不等式的解．
故选：D．
【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键．
【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．
（1）0是这个不等式的一个解： x＜1 ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解： x＜2 ；
（3）0不是这个不等式的解： x＜0 ．
【分析】根据不等式的解集，即可解答．
【详解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）
（2）x＜2，（答案不唯一）
（3）x＜0，（答案不唯一）
故答案为：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集．
【题型3 根据实际问题列出不等式】
【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（ ）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
【分析】由题意可得，小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意可知：
当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，
由图可知：
小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，
所以此时电梯乘载的重量x+40≤300，解得x≤260，
因为小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，
所以此时电梯乘载的重量x+40+50＞300，解得x＞210，
因此210＜x≤260．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．
【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32
【分析】根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．
【详解】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，
根据最高气温是32℃可得：t≤32，
则气温范围是：25≤t≤32，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键词“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为 a＜0 ．
【分析】根据题意可得，负数小于0，由此列出不等式即可．
【详解】解：根据题意，得a＜0．
故答案为：a＜0．
【点睛】本题考查列不等式，所考查的知识点是：负数小于0．
【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是 7.5≤x≤40 ．
【分析】若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间．
【详解】解：若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，
若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间，
所以7.5≤x≤40．
故答案为：7.5≤x≤40．
【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
【题型4 在数轴上表示不等式】
【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 ﹣1≤x＜2 ．
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；
从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．
所以这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．
故答案为：﹣1≤x＜2．
【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ 2 ．
【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可．
【详解】解：根据数轴上的解集得：a＝2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式
（1）x＜﹣1
（2）﹣2＜x≤3．
【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
【详解】解：（1）将x＜﹣1表示在数轴上如下：
（2）将不等式组﹣2＜x≤3表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左画出图形即可得到答案．
【详解】解：﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左，如图所示：
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，掌握“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”是解题的关键．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．3﹣a＞3﹣bB．a2＜abC．2a＜2bD．−a3＞−b3
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），
∴选项B符合题意；
∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b，
∴−a3＞−b3，
∴选项D不符合题意．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b
【分析】根据不等式的基本性质判断A，D选项；根据有理数的乘法法则判断B，C选项．
【详解】解：A选项，当c＜0时不成立，故该选项不符合题意；
B选项，也可能是a＜0，b＞0，故该选项不符合题意；
C选项，若a＞0，b＜0，则ab＜0，故该选项符合题意；
D选项，当b＜0时不成立，故该选项不符合题意；
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有 ①④ （填序号）．
①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【详解】解：①∵c＜d，
∴﹣c＞﹣d，
∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣d，
故①正确．
②当b＜0时，ab＜1，
故②错．
③若a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1b，
故③错．
④∵ac2＜bc2，
∴c2＞0，
∴a＜b，
故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a； √
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4； ×
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2； ×
（4）若ac2＞bc2，则a＞b； √
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）． √
（6）若a＞b＞0，则1a＜1b． √ ．
【分析】利用不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c＝0时则 ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，则1a＜1b正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【点睛】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
【题型6 利用不等式性质比较大小】
【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3 ＜ 1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：∵7x＜4，
∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．
【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空
（1）a﹣4 ＜ b﹣4
（2）a5 ＜ b5
（3）﹣2a ＞ ﹣2b．
【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边同时﹣4，不等号的方向不变即可解答：
（2）根据不等式的基本性质，两边同时除以5，不等号的方向不变解答即可：
（3）根据不等式的基本性质，两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变即可解答．
【详解】解：（1）根据不等式的基本性质1可得：a﹣4＜b﹣4；
（2）根据不等式的基本性质2可得：a5＜b5；
（3）根据不等式的基本性质3可得：﹣2a＞﹣2b，
故答案为＜，＜，＞．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：
（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
【分析】利用作差法可比较x、y的大小．
【详解】解：由于x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．
所以x＞y．
【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） ＞ b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【详解】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．
故答案是：＞．
【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型7 利用不等式性质化简不等式】
【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5，不等号的方向不变．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以﹣5，不等号的方向改变．
【详解】解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得﹣5x＜﹣15，
根据不等式的性质3，在不等式﹣5x＜﹣15的两边同时除以﹣5，得x＞3．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【分析】（1）根据移项、合并同类项，系数化为1，可得答案；
（2）根据去括号、移项、系数化为1，可得答案．
【详解】解：（1）移项，得
2x＞3﹣5，
合并同类项，得
2x＞﹣2，
系数化为1，得
x＞﹣1；
（2）去括号，得，
﹣6x+6＜0，
移项，得
﹣6x＜﹣6，
系数化为1，得
x＞1．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了解不等式的一般步骤，不等式的两边都除以同一负数，不等号的方向改变．
【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．
（1）13x＞−23x﹣2（2）12x≤12（6﹣x）
【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答．
【详解】解：（1）利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加上23x，得13x+23x＞−23x+23x﹣2，
即x＞﹣2；
（2）根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得12x×2≤12（6﹣x）×2，
即x≤6﹣x，①
再由不等式的基本性质1，在不等式①的两边同时加上同一个整式x，得
2x≤6，②
最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x≤3．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）15x＜25．
【分析】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．
【详解】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，
得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；
（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，
得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；
（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，
得x＜2；
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，需熟练掌握．
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】
【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
②已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据： 不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变 ）
即﹣ac＞﹣bc
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据： 不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变 ）
合并同类项可得：bc＞ac
即：ac＜bc得证．
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；
（2）仿照（1）的方法进行求解即可．
【详解】解：（1）∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），
即﹣ac＞﹣bc，
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），
合并同类项可得：bc＞ac，
即：ac＜bc，得证．
故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变；
（2）∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a−c＞b−c（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），
即−ac＞−bc，
不等式的两端同时乘以﹣1可得：
−ac×（﹣1）＜−bc×（﹣1）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号改变），
即：ac＜bc，得证．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．
【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案．
【详解】证明：∵a＞b，c＞0，
∴﹣ac＜﹣bc．
f﹣ac＜f﹣bc．
∵e＞f，
∴e﹣bc＞f﹣bc．
∴f﹣ac＜e﹣bc．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．
【分析】根据不等式的性质得出2b＜a+1，1+a＜2a，根据不等式的传递性从而得出结论．
【详解】证明：因为b＜c，所以2b＜b+c，
由b+c＜a+1，得2b＜a+1，
由1＜a，得1+a＜2a，
所以2b＜1+a＜2a，
∴b＜a成立．
【点睛】本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．
【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．
【分析】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；
（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c；
（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
∴﹣2＜ba＜−1．
【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣6，则t＝3+x﹣6＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣2y，y＝3﹣x得到x≥﹣2（3﹣x），解不等式得到x≤6，所以t+3≤6，然后解不等式得到t的最大值即可．
【详解】解：设x+y+z＝t，
∵x﹣z＝6，
∴z＝x﹣6，
∵x+y＝3，
∴y＝3﹣x，t＝3+x﹣6＝x﹣3，
∴x＝t+3，
∵x≥﹣2y，
即x≥﹣2（3﹣x），
∴x≤6，
∴t+3≤6，
解得t≤3，
∴x+y+z的最大值为3．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质．
【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 a＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．
【详解】解：根据题意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案为：a＞6．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 9＜k＜41 ．
【分析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．
【详解】解：∵正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，
∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16
同理：
有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16
两式相加：a2+b2+2c2＝41
即a2+b2＝41﹣2c2
又∵﹣16＜﹣c2＜0
即﹣32＜﹣2c2＜0
∴9＜41﹣2c2＜41
即9＜k＜41．
【点睛】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变
【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．
【分析】由c﹣a＝2005得c＝a+2005，与a+b＝2006相加得a+b+c＝a+4011，由a+b＝2006及a＜b，a为整数，可得a的最大值为1002，从而得出a+b+c的最大值．
【详解】解：由a+b＝2006，c﹣a＝2005，得a+b+c＝a+4011，
∵a+b＝2006，a＜b，a为整数，
∴a的最大值为1002，
∴a+b+c的最大值为a+b+c＝a+4011＝5013．
【点睛】本题考查了整式的加减，关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【分析】根据题意得到不等式10b+a＜10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小．
【详解】解：根据题意，得
10b+a＜10a+b，
所以，9b＜9a，
所以，b＜a，即a＞b．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D＜B＜A＜CB．B＜D＜C＜AC．B＜A＜D＜CD．B＜C＜D＜A
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
D＞A①，
A+C＞B+D②，
B+C＝A+D③，
由③得：
C＝A+D﹣B④，
把④代入②得：
A+A+D﹣B＞B+D，
2A＞2B，
∴A＞B，
∴A﹣B＞0，
由③得：
A﹣B＝C﹣D，
∵D﹣A＞0，
∴C﹣D＞0，
∴C＞D，
∴C＞D＞A＞B，
即B＜A＜D＜C，
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1 ＜ S2（填“＞，＜或＝”）．
【分析】设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s1＝4x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s2＝3x+9y，用s1减去s2，结果与0比较即可；
【详解】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，
方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s1＝4x+8y；
方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s2＝3x+9y，
∵s1﹣s2
＝4x+8y﹣3x﹣9y
＝x﹣y，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴s1＜s2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可．本题难度中等略大．
【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．a+b2＞c+d2B．c+d2＞a+b2C．c+d2=a+b2D．以上都不对
【分析】根据已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案．
【详解】解：∵3a+2b＝2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴a+b2＜c+d2，
即c+d2＞a+b2，
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
\l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 2
\l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 2
\l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 2
\l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 3
\l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 4
\l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 5
\l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 6
\l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 6
【知识点1 认识不等式】
定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的概念及意义】
【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ）
A．x+4y＝3B．xC．x+yD．x﹣3＞0
【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15g
C．6.15g及以上D．不足6.15g
【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有 个．
【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（ ）
A．x+2＜4B．13x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞10
【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．
（1）0是这个不等式的一个解： ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解： ；
（3）0不是这个不等式的解： .
【题型3 根据实际问题列出不等式】
【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（ ）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32
【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为 ．
【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是 ．
【题型4 在数轴上表示不等式】
【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 ．
【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ ．
【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式
（1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3．
【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．3﹣a＞3﹣bB．a2＜abC．2a＜2bD．−a3＞−b3
【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b
【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有 （填序号）．
①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．
【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）
（6）若a＞b＞0，则1a＜1b． ．
【题型6 利用不等式性质比较大小】
【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3 1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空
（1）a﹣4 b﹣4
（2）a5 b5
（3）﹣2a ﹣2b．
【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：
（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【题型7 利用不等式性质化简不等式】
【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．
【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．
（1）13x＞−23x﹣2（2）12x≤12（6﹣x）
【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）15x＜25．
【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】
【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
②已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据： ）
即﹣ac＞﹣bc
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据： ）
合并同类项可得：bc＞ac
即：ac＜bc得证．
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．
【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．
【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 ．
【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D＜B＜A＜CB．B＜D＜C＜AC．B＜A＜D＜CD．B＜C＜D＜A
【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1 S2（填“＞，＜或＝”）．
【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均
专题2.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
\l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 3
\l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 4
\l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 6
\l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 8
\l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 10
\l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 14
\l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 17
\l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 19
【知识点1 认识不等式】
定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的概念及意义】
【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【分析】主要依据不等式的定义──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来解答．
【详解】解：因为除③x＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等号，都是不等式，共4个．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠．
【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ）
A．x+4y＝3B．xC．x+yD．x﹣3＞0
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此选项不符合题意；
B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；
C、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；
D、x﹣3＞0是不等式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等．
【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15g
C．6.15g及以上D．不足6.15g
【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可．
【详解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白质含量≥3%，
∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，
【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键．
【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 ．
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有 4 个．
【分析】解得不等式后根据x的取值范围确定个数即可．
【详解】解：解1﹣2x＞0，
解得：x＜12，
满足x＜12的有﹣2、﹣1.5、﹣1、0共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了不等式的解集的知识，解答时也可以将x的值代入看能否满足不等式，满足可以，否则不可以．
【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（ ）
A．x+2＜4B．13x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞10
【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得答案．
【详解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；
B、x＞9，故B 不是不等式的解；
C、x＜2，故C不是不等式的解；
D、x＞83，故D是不等式的解．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解集，先解不等式，再选出答案．
【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．
【详解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的数，
∴3是不等式的解．
故选：D．
【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键．
【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．
（1）0是这个不等式的一个解： x＜1 ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解： x＜2 ；
（3）0不是这个不等式的解： x＜0 ．
【分析】根据不等式的解集，即可解答．
【详解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）
（2）x＜2，（答案不唯一）
（3）x＜0，（答案不唯一）
故答案为：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集．
【题型3 根据实际问题列出不等式】
【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（ ）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
【分析】由题意可得，小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意可知：
当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，
由图可知：
小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，
所以此时电梯乘载的重量x+40≤300，解得x≤260，
因为小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，
所以此时电梯乘载的重量x+40+50＞300，解得x＞210，
因此210＜x≤260．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．
【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32
【分析】根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．
【详解】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，
根据最高气温是32℃可得：t≤32，
则气温范围是：25≤t≤32，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键词“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为 a＜0 ．
【分析】根据题意可得，负数小于0，由此列出不等式即可．
【详解】解：根据题意，得a＜0．
故答案为：a＜0．
【点睛】本题考查列不等式，所考查的知识点是：负数小于0．
【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是 7.5≤x≤40 ．
【分析】若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间．
【详解】解：若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，
若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间，
所以7.5≤x≤40．
故答案为：7.5≤x≤40．
【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
【题型4 在数轴上表示不等式】
【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 ﹣1≤x＜2 ．
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；
从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．
所以这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．
故答案为：﹣1≤x＜2．
【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ 2 ．
【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可．
【详解】解：根据数轴上的解集得：a＝2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式
（1）x＜﹣1
（2）﹣2＜x≤3．
【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
【详解】解：（1）将x＜﹣1表示在数轴上如下：
（2）将不等式组﹣2＜x≤3表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左画出图形即可得到答案．
【详解】解：﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左，如图所示：
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，掌握“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”是解题的关键．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．3﹣a＞3﹣bB．a2＜abC．2a＜2bD．−a3＞−b3
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），
∴选项B符合题意；
∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b，
∴−a3＞−b3，
∴选项D不符合题意．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b
【分析】根据不等式的基本性质判断A，D选项；根据有理数的乘法法则判断B，C选项．
【详解】解：A选项，当c＜0时不成立，故该选项不符合题意；
B选项，也可能是a＜0，b＞0，故该选项不符合题意；
C选项，若a＞0，b＜0，则ab＜0，故该选项符合题意；
D选项，当b＜0时不成立，故该选项不符合题意；
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有 ①④ （填序号）．
①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【详解】解：①∵c＜d，
∴﹣c＞﹣d，
∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣d，
故①正确．
②当b＜0时，ab＜1，
故②错．
③若a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1b，
故③错．
④∵ac2＜bc2，
∴c2＞0，
∴a＜b，
故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a； √
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4； ×
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2； ×
（4）若ac2＞bc2，则a＞b； √
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）． √
（6）若a＞b＞0，则1a＜1b． √ ．
【分析】利用不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c＝0时则 ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，则1a＜1b正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【点睛】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
【题型6 利用不等式性质比较大小】
【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3 ＜ 1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：∵7x＜4，
∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．
【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空
（1）a﹣4 ＜ b﹣4
（2）a5 ＜ b5
（3）﹣2a ＞ ﹣2b．
【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边同时﹣4，不等号的方向不变即可解答：
（2）根据不等式的基本性质，两边同时除以5，不等号的方向不变解答即可：
（3）根据不等式的基本性质，两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变即可解答．
【详解】解：（1）根据不等式的基本性质1可得：a﹣4＜b﹣4；
（2）根据不等式的基本性质2可得：a5＜b5；
（3）根据不等式的基本性质3可得：﹣2a＞﹣2b，
故答案为＜，＜，＞．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：
（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
【分析】利用作差法可比较x、y的大小．
【详解】解：由于x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．
所以x＞y．
【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） ＞ b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【详解】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．
故答案是：＞．
【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型7 利用不等式性质化简不等式】
【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5，不等号的方向不变．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以﹣5，不等号的方向改变．
【详解】解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得﹣5x＜﹣15，
根据不等式的性质3，在不等式﹣5x＜﹣15的两边同时除以﹣5，得x＞3．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【分析】（1）根据移项、合并同类项，系数化为1，可得答案；
（2）根据去括号、移项、系数化为1，可得答案．
【详解】解：（1）移项，得
2x＞3﹣5，
合并同类项，得
2x＞﹣2，
系数化为1，得
x＞﹣1；
（2）去括号，得，
﹣6x+6＜0，
移项，得
﹣6x＜﹣6，
系数化为1，得
x＞1．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了解不等式的一般步骤，不等式的两边都除以同一负数，不等号的方向改变．
【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．
（1）13x＞−23x﹣2（2）12x≤12（6﹣x）
【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答．
【详解】解：（1）利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加上23x，得13x+23x＞−23x+23x﹣2，
即x＞﹣2；
（2）根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得12x×2≤12（6﹣x）×2，
即x≤6﹣x，①
再由不等式的基本性质1，在不等式①的两边同时加上同一个整式x，得
2x≤6，②
最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x≤3．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）15x＜25．
【分析】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．
【详解】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，
得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；
（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，
得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；
（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，
得x＜2；
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，需熟练掌握．
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】
【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
②已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据： 不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变 ）
即﹣ac＞﹣bc
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据： 不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变 ）
合并同类项可得：bc＞ac
即：ac＜bc得证．
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；
（2）仿照（1）的方法进行求解即可．
【详解】解：（1）∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），
即﹣ac＞﹣bc，
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），
合并同类项可得：bc＞ac，
即：ac＜bc，得证．
故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变；
（2）∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a−c＞b−c（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），
即−ac＞−bc，
不等式的两端同时乘以﹣1可得：
−ac×（﹣1）＜−bc×（﹣1）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号改变），
即：ac＜bc，得证．
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．
【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案．
【详解】证明：∵a＞b，c＞0，
∴﹣ac＜﹣bc．
f﹣ac＜f﹣bc．
∵e＞f，
∴e﹣bc＞f﹣bc．
∴f﹣ac＜e﹣bc．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．
【分析】根据不等式的性质得出2b＜a+1，1+a＜2a，根据不等式的传递性从而得出结论．
【详解】证明：因为b＜c，所以2b＜b+c，
由b+c＜a+1，得2b＜a+1，
由1＜a，得1+a＜2a，
所以2b＜1+a＜2a，
∴b＜a成立．
【点睛】本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．
【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．
【分析】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；
（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c；
（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
∴﹣2＜ba＜−1．
【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣6，则t＝3+x﹣6＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣2y，y＝3﹣x得到x≥﹣2（3﹣x），解不等式得到x≤6，所以t+3≤6，然后解不等式得到t的最大值即可．
【详解】解：设x+y+z＝t，
∵x﹣z＝6，
∴z＝x﹣6，
∵x+y＝3，
∴y＝3﹣x，t＝3+x﹣6＝x﹣3，
∴x＝t+3，
∵x≥﹣2y，
即x≥﹣2（3﹣x），
∴x≤6，
∴t+3≤6，
解得t≤3，
∴x+y+z的最大值为3．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质．
【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 a＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．
【详解】解：根据题意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案为：a＞6．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 9＜k＜41 ．
【分析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．
【详解】解：∵正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，
∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16
同理：
有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16
两式相加：a2+b2+2c2＝41
即a2+b2＝41﹣2c2
又∵﹣16＜﹣c2＜0
即﹣32＜﹣2c2＜0
∴9＜41﹣2c2＜41
即9＜k＜41．
【点睛】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变
【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．
【分析】由c﹣a＝2005得c＝a+2005，与a+b＝2006相加得a+b+c＝a+4011，由a+b＝2006及a＜b，a为整数，可得a的最大值为1002，从而得出a+b+c的最大值．
【详解】解：由a+b＝2006，c﹣a＝2005，得a+b+c＝a+4011，
∵a+b＝2006，a＜b，a为整数，
∴a的最大值为1002，
∴a+b+c的最大值为a+b+c＝a+4011＝5013．
【点睛】本题考查了整式的加减，关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【分析】根据题意得到不等式10b+a＜10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小．
【详解】解：根据题意，得
10b+a＜10a+b，
所以，9b＜9a，
所以，b＜a，即a＞b．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D＜B＜A＜CB．B＜D＜C＜AC．B＜A＜D＜CD．B＜C＜D＜A
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
D＞A①，
A+C＞B+D②，
B+C＝A+D③，
由③得：
C＝A+D﹣B④，
把④代入②得：
A+A+D﹣B＞B+D，
2A＞2B，
∴A＞B，
∴A﹣B＞0，
由③得：
A﹣B＝C﹣D，
∵D﹣A＞0，
∴C﹣D＞0，
∴C＞D，
∴C＞D＞A＞B，
即B＜A＜D＜C，
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1 ＜ S2（填“＞，＜或＝”）．
【分析】设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s1＝4x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s2＝3x+9y，用s1减去s2，结果与0比较即可；
【详解】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，
方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s1＝4x+8y；
方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s2＝3x+9y，
∵s1﹣s2
＝4x+8y﹣3x﹣9y
＝x﹣y，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴s1＜s2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可．本题难度中等略大．
【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．a+b2＞c+d2B．c+d2＞a+b2C．c+d2=a+b2D．以上都不对
【分析】根据已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案．
【详解】解：∵3a+2b＝2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴a+b2＜c+d2，
即c+d2＞a+b2，
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