北师大版八年级下册2 不等式的基本性质巩固练习

这是一份北师大版八年级下册2 不等式的基本性质巩固练习，共28页。


【知识点 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜
【题型1 利用不等式的性质判断正误】
【例1】（2023•江干区三模）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．2a＜2bC．D．a2＜b2
【变式1-1】（2023春•南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15
C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由0得y＞0
【变式1-2】（2023春•睢宁县校级月考）若x+y＞x﹣y，y﹣x＞y，那么（1）x+y＞0，（2）y﹣x＜0，（3）xy≤0，（4）0中，正确结论的序号为 ．
【变式1-3】（2023•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①；②；③；④
其中不等式正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．②③
【题型2 利用不等式性质比较大小】
【例2】（2023春•朝阳区期末）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：3 ；（填“＜”，“＝”或“＞”）
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
【变式2-1】（2023•利州区模拟）若x＞y，比较与的大小，并说明理由．
【变式2-2】（2023春•武侯区期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，试比较3x﹣4与3y﹣4的大小．
【变式2-3】（2023•佛山）小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）
根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．
【题型3 利用不等式性质化简不等式】
【例3】（2023春•岳麓区校级期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）．
【变式3-1】（2023秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【变式3-2】（2023秋•滨江区期末）不等式（a﹣2）x＞b的解集是x，求a的取值范围．
【变式3-3】（2023春•九江期中）用“＞”或“＜”填空：
（1）如果x﹣2＜3，那么x 5；（2）如果x＜﹣1，那么x ；
（3）如果x＞﹣2，那么x ﹣10；（4）如果﹣x＞1，那么x ﹣1；
（5）若ax＞b，ac2＜0，则x ．
【题型4 利用不等式性质证明（不）等式】
【例4】（2023春•濉溪县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣21．
【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【变式4-2】（2023•利州区模拟）（2023春•泗水县期末）请类比不等式性质：不等式的两边加（或减）同一个整式，不等号的方向不变．完成下列填空：
一般地，如果，那么a+c b+d．（选用“＞”或“＜”填空）
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
【变式4-3】（2023•余姚市校级自主招生）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．
【题型5 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例5】（2023春•海淀区校级期末）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
解：∵x﹣y＝2．
∴x＝y+2，
又∵x＞1，
∴y+2＞1．
∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2．
即1＜x＜2．②
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是 ；x+y的取值范围是 ；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，若根据上述做法得到3x﹣y的取值范围是﹣5＜3x﹣y＜5，求a、b的值．
【变式5-1】（2023•杭州）若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（ ）
A．有最小值B．有最大值1
C．有最大值2D．有最小值
【变式5-2】（2023•利州区模拟）（2023春•十堰期末）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，令W＝3a+2b+5c，则W的最大值为（ ）
A．90B．130C．150D．180
【变式5-3】（2023春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
【题型6 不等关系的简单应用】
【例6】（2023春•博野县期末）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【变式6-1】（2023春•内乡县期中）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【变式6-2】（2023•雨花区校级开学）江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：
（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；
（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；
（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．
若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式6-3】（2023春•自贡期末）如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，一个女老师，六个学生，三个男学生，三个女学生．其中每个男学生的力量相同，每个女学生的力量相同．
如果有三场比赛的结果是：
第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方进行比赛，男老师输了；
第二场：女老师为一方，五个同学（一男四女）为另一方进行比赛，女老师赢了；
第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为另一方进行比赛，男老师一方赢了．
问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，结果将会怎么样？为什么？
已知
用“＜”或“＞”填空

5+2 3+1

﹣3﹣1 ﹣5﹣2

1﹣2 4+1
专题2.2 不等式的基本性质-重难点题型
【北师大版】
【知识点 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜
【题型1 利用不等式的性质判断正误】
【例1】（2023•江干区三模）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．2a＜2bC．D．a2＜b2
【解题思路】通过不等式的基本性质逐项判断求解．
【解答过程】解：A，∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1正确，A不符合题意．
B，∵a＜b，
∴2a＜2b正确，B不符合题意．
C，∵a＜b，
∴正确，C不符合题意．
D，当a＜b＜0时，a2＞b2，故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（2023春•南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15
C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由0得y＞0
【解题思路】根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案．
【解答过程】解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由5x＞3得x，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（2023春•睢宁县校级月考）若x+y＞x﹣y，y﹣x＞y，那么（1）x+y＞0，（2）y﹣x＜0，（3）xy≤0，（4）0中，正确结论的序号为 （4） ．
【解题思路】判断出x，y的符号，根据符号判断即可．
【解答过程】解：∵x+y＞x﹣y，y﹣x＞y
∴y＞﹣y，﹣x＞0
∴y＞0，x＜0
（1）两个数的绝对值不确定，符号也不确定，错误；
（2）y﹣x属于大数减小数，结果应大于0，错误；
（3）xy不会出现等于0的情况，错误；
（4）异号两数相除，结果为负，正确；
∴正确结论的序号为（4）．
【变式1-3】（2023•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：
①；②；③；④
其中不等式正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．②③
【解题思路】由，a、b、c、d都是正实数，根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后两边都除以（c+d）（a+b）得到，得到①正确，②不正确；同理可得到，则③正确，④不正确．
【解答过程】解：∵，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），
∴，所以①正确，②不正确；
∵，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），
∴，所以③正确，④不正确．
故选：A．
【题型2 利用不等式性质比较大小】
【例2】（2023春•朝阳区期末）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：3 ＜ ；（填“＜”，“＝”或“＞”）
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
【解题思路】（1）两数作差，根据3可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正数，不等号的方向不变解决；
（2）根据x+2y﹣2＝0，且x≥0求得y≤1，两式作差进而求解，
【解答过程】解：（1）∵3，
∴（3）﹣（）＝30，
∴3，
或∵3，
∴3，
故答案为：＜．
（2）∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2﹣2y，
∵x≥0，
∴2﹣2y≥0，
∴y≤1，
∴﹣y+1≥0，
∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1≥0，
∴A≥B．
【变式2-1】（2023•利州区模拟）若x＞y，比较与的大小，并说明理由．
【解题思路】先在x＞y的两边同乘以，变号，再在此基础上同加上3，不变号，即可得出结果．
【解答过程】解：∵x＞y，
∴不等式两边同时乘以
得：（不等式的基本性质3）
∴不等式两边同时加上3，
得（不等式的基本性质2）．
【变式2-2】（2023春•武侯区期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，试比较3x﹣4与3y﹣4的大小．
【解题思路】直接利用已知得出x﹣y的取值范围，进而得出两式的大小关系．
【解答过程】解：∵﹣x﹣1＞﹣y+1，
∴x+1＜y﹣1
∴x﹣y＜﹣2，
∴3x﹣4﹣（3y﹣4）
＝3（x﹣y）＜﹣6，
∴3x﹣4＜3y﹣4．
【变式2-3】（2023•佛山）小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）
根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．
【解题思路】利用已知天平得出：①＞②，②+③＞①+④，①+②＝③+④，进而比较得出即可．
【解答过程】解：由题意可得：①＞②，②+③＞①+④，①+②＝③+④，
因为 ①＞②，②+③＞①+④，所以②+③＞①+④＞②+④，所以③＞④；
因为①+②＝③+④，所以①﹣③＝④﹣②，
又②+③＞①+④，所以②﹣④＞①﹣③＞④﹣②，所以②＞④，
所以①＞②＞④；
因为①+②＝③+④，所以①﹣④＝③﹣②＞0，所以③＞②； ④﹣②＜0，
所以①﹣③＜0，所以③＞①；
综上，③＞①＞②＞④．
【题型3 利用不等式性质化简不等式】
【例3】（2023春•岳麓区校级期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）．
【解题思路】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．
【解答过程】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，
得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；
（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，
得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；
（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，
得x＜2.
【变式3-1】（2023秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【解题思路】（1）根据不等式的基本性质，可得答案；
（2）根据不等式的基本性质，可得答案．
【解答过程】解：（1）2x＞3﹣5，
2x＞﹣2，
x＞﹣1；
（2）﹣6x+6＜0，
﹣6x＜﹣6，
x＞1．
【变式3-2】（2023秋•滨江区期末）不等式（a﹣2）x＞b的解集是x，求a的取值范围．
【解题思路】根据不等式的性质3，可得答案．
【解答过程】解：由不等式（a﹣2）x＞b的解集是x，得
a﹣2＜0．
解得a＜2．
【变式3-3】（2023春•九江期中）用“＞”或“＜”填空：
（1）如果x﹣2＜3，那么x ＜ 5；（2）如果x＜﹣1，那么x ＞ ；
（3）如果x＞﹣2，那么x ＞ ﹣10；（4）如果﹣x＞1，那么x ＜ ﹣1；
（5）若ax＞b，ac2＜0，则x ＜ ．
【解题思路】不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．（1）不等式的两边同时加上2，得到：x＜5；（2）两边同时除以，得到：x；（3）两边同时乘以5得：x＞﹣10；（4）两边同时乘以﹣1得：x＜﹣1；（5）因为ac2＜0，c2＞0一定成立，因而有a＜0；根据：不等式的基本性质：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变．ax＞b的左右两边同时除以负数a，得到x．
【解答过程】解：（1）如果x﹣2＜3，那么x＜5；
（2）如果x＜﹣1，那么x；
（3）如果x＞﹣2，那么x＞﹣10；
（4）如果﹣x＞1，那么x＜﹣1；
（5）若ax＞b，ac2＜0，则x．
【题型4 利用不等式性质证明（不）等式】
【例4】（2023春•濉溪县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣21．
【解题思路】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；
（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．
【解答过程】证明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c；
（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
∴﹣21．
【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【解题思路】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案．
【解答过程】证明：∵a＞b，c＞0，
∴﹣ac＜﹣bc．
f﹣ac＜f﹣bc．
∵e＞f，
∴e﹣bc＞f﹣bc．
∴f﹣ac＜e﹣bc．
【变式4-2】（2023•利州区模拟）（2023春•泗水县期末）请类比不等式性质：不等式的两边加（或减）同一个整式，不等号的方向不变．完成下列填空：
一般地，如果，那么a+c ＞ b+d．（选用“＞”或“＜”填空）
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
【解题思路】根据有理数的运算法则完成表格的填写；根据不等式的性质进行证明．
【解答过程】解：∵7＞4，﹣4＞﹣7，﹣1＜5，
∴5+2＞3+1；﹣3﹣1＞﹣5﹣2，1﹣2＜4+1，
故答案是：＞；＞；＜；
证明：∵a＞b，
∴a+c＞b+c，
又∵c＞d，
∴b+c＞b+d，
∴a+c＞b+d．
【变式4-3】（2023•余姚市校级自主招生）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．
【解题思路】此题可以根据绝对值的意义结合不等式的性质进行分析．
【解答过程】证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|
∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2
∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2＝2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0
∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0
∴a+b+c＝0．
【题型5 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例5】（2023春•海淀区校级期末）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
解：∵x﹣y＝2．
∴x＝y+2，
又∵x＞1，
∴y+2＞1．
∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2．
即1＜x＜2．②
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ；x+y的取值范围是 ﹣5＜x+y＜3 ；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，若根据上述做法得到3x﹣y的取值范围是﹣5＜3x﹣y＜5，求a、b的值．
【解题思路】（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；
（2）根据题意求得a+b＜﹣y＜﹣2b，a+2b＜x＜﹣b，然后利用不等式的性质求解3x﹣y的取值范围，从而得到关于a，b的方程求解．
【解答过程】解：（1）∵x﹣y＝3，
∴x＝y+3，
又∵x＞﹣1，
∴y+3＞﹣1，
∴y＞﹣4．
又∵y＜0，
∴﹣4＜y＜0，①
∴﹣1＜y+3＜3
即﹣1＜x＜3，②
由①+②得﹣1﹣4＜y+x＜0+3
∴x+y的取值范围是﹣5＜x+y＜3；
故答案为：﹣1＜x＜3，﹣5＜x+y＜3；
（2）∵x﹣y＝a，
∴x＝y+a，
又∵x＜﹣b，
∴y+a＜﹣b，
∴y＜﹣a﹣b，
又∵y＞2b，
当﹣a﹣b＞2b，即a＜﹣3b时，
∴2b＜y＜﹣a﹣b，
∴a+b＜﹣y＜﹣2b，①a+2b＜y+a＜﹣b，
即a+2b＜x＜﹣b，②
由3×②+①得3a+6b+a+b＜3x﹣y＜﹣3b﹣2b，
即4a+7b＜3x﹣y＜﹣5b，
∵3x﹣y的取值范围是﹣5＜3x﹣y＜5，
∴，
∴．
【变式5-1】（2023•杭州）若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（ ）
A．有最小值B．有最大值1
C．有最大值2D．有最小值
【解题思路】由已知条件，根据不等式的性质求得b0和a；然后根据不等式的基本性质求得2 和当a＞0时，0；当a＜0时，；据此作出选择即可．
【解答过程】解：∵a+b＝﹣2，
∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a，
又∵a≥2b，
∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，
移项，得
﹣3b≥2，3a≥﹣4，
解得，b0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a；
由a≥2b，得
2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；
A、当a＞0时，0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当a＜0时，，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选：C．
【变式5-2】（2023•利州区模拟）（2023春•十堰期末）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，令W＝3a+2b+5c，则W的最大值为（ ）
A．90B．130C．150D．180
【解题思路】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．
【解答过程】解：，
①+②，得3a+4b+5c＝130，
∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b，
∵b是非负实数，
∴b≥0，
∴W＝130﹣2b的最大值为130，
故选：B．
【变式5-3】（2023春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．
【解题思路】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解答过程】解：∵x﹣y＝﹣3，
∴x＝y﹣3．
又∵x＜﹣1，
∴y﹣3＜﹣1，
∴y＜2．
又∵y＞1，
∴1＜y＜2，…①
同理得﹣2＜x＜﹣1…②
由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．
∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．
【题型6 不等关系的简单应用】
【例6】（2023春•博野县期末）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【解题思路】根据已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案．
【解答过程】解：∵3a+2b＝2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴，
即，
故选：B．
【变式6-1】（2023春•内乡县期中）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【解题思路】根据题意得到不等式10b+a＜10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小．
【解答过程】解：根据题意，得
10b+a＜10a+b，
所以，9b＜9a，
所以，b＜a，即a＞b．
【变式6-2】（2023•雨花区校级开学）江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：
（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；
（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；
（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．
若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】根据题意设参观过滕王阁的人数为x，设参观过岳阳楼的人数为y，根据题意列出不等式求解即可．
【解答过程】解：设参观过滕王阁的人数为x，设参观过岳阳楼的人数为y，
∵参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数，参观过黄鹤楼的人数为4，
∴x＜4×2，
∴x＜8，
又∵参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数，参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；
∴4＜y≤7，
∴参观过岳阳楼的人数的最大值为7．
故选：D．
【变式6-3】（2023春•自贡期末）如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，一个女老师，六个学生，三个男学生，三个女学生．其中每个男学生的力量相同，每个女学生的力量相同．
如果有三场比赛的结果是：
第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方进行比赛，男老师输了；
第二场：女老师为一方，五个同学（一男四女）为另一方进行比赛，女老师赢了；
第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为另一方进行比赛，男老师一方赢了．
问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，结果将会怎么样？为什么？
【解题思路】设出每个人的力量，列出不等式组，得到关于力量的不等关系式，再将三个不等式联立，进行推理．
【解答过程】解：设男老师力量为x，女老师力量为y，男生力量为z，女生力量为s．
第一场，2z+3s＞x①；
第二场，y＞z+4s②；
第三场，x+z＞3s+y③；
①+②+③得：z＞2s④
①+②得：y+z＞x+s⑤
④+⑤得：y+2z＞x+3s
即：一个女老师加两个男学生拔过一名男老师和三名女老师． 已知
用“＜”或“＞”填空

5+2 ＞ 3+1

﹣3﹣1 ＞ ﹣5﹣2

1﹣2 ＜ 4+1