知识讲解_两角差的余弦公式_提高练习题

两角差的余弦公式

【学习目标】

1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.

2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.

【要点梳理】

要点一：两角差的余弦公式

1．两角差的余弦公式的推导：

（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则

由向量数量积的概念，有

，结合向量数量积的坐标表示，有

所以= （*）

（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下：

由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使．

①若，则．

②若，则，且

由以上的讨论可知，对于任意的，都有：

=  

2．公式的记忆

右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．

要点诠释：

(1)公式中的都是任意角．

(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即．

(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．

要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用

1．逆用

=

要点诠释：

公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到

．

2．角变换后使用

．

3．移项运用

4．特殊化使用

5．以代

即

【典型例题】

高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1

类型一：利用差角的余弦公式进行证明

例1．求证：

（1）

（2）

【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开．（2）利用及两角和的余弦公式可证得．

【证明】（1）=

             =

 （2）

                =

                =

                =

                =

举一反三：

【变式1】

证明：

             =

             =

             =

             =

             =

类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式

例2．（1）；

（2）．

【解析】

（1）原式

．

（2）原式=

    =

    =

    =

    =

【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型．

举一反三：

【变式1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；

（2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；

（3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°；

（4）；

【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0．

（2）原式．

（3）原式．

（4）原式

类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）

例3．已知，，，均为锐角，求．

【思路点拨】

【解析】∵，均为锐角，∴，，

由，，

易知，．

∴

．

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知，，且、、均为锐角，求的值

【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内，所以，．

而，

所以

．

例4．已知、均为锐角，且，，求的值．

【思路点拨】先求，然后根据确定的范围．

【答案】

【解析】 ∵、均为锐角，且，，

∴，，

∴

．

又∵，，，

而，∴，即，

∴，∴．

【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．

举一反三：

【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值．

【解析】  ∵为锐角且，

∴．

又为锐角，∴，

又，∴．

∴．

∴

．

又为锐角，．

【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题．（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围．

【变式2】若，，求的值．

【解析】

（1）

（2）

（1）2+（2）2得：2+2=1

类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用

例5．已知三点、、．若向量（k为常数，且0＜k＜2），求的最大、最小值及相应的k值．

【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得．

【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值－1．

【解析】 由已知得．

移项得．

①2+②2得．

∴

∵0＜k＜2，故k=1时，有最大值，

又，∴的最小值为－1，

此时，解得或．

综上所述，当k=1时，有最大值；

当或时，有最小值－1．

【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引起足够的重视．

（2）形如的一类问题，平方相加或相减，或者先移项再平方相加而消元，是解决此类问题的常用方法．

举一反三：

【变式1】设A、B为锐角三角形ABC的两个内角，向量，，若a，b的夹角为60°，则A－B等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

a·b=

又|a|=，|b|=

又