高中3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式达标测试

第三章　三角恒等变换

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1　两角差的余弦公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.cos(-75°)的值是(　　)

A. B.

C. D.

2.(2019湖北高一期中)cos 80°cos 20°-sin(-80°)sin 160°的值是(　　)

A. B. C.- D.-

3.(2019福建福州高一下期末)cos 40°cos 10°+sin 40°·sin 10°的值为(　　)

A. B.- C. D.-

4.(2019北京师大附中高一期中)cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=　　　　. 

5.化简:-cos(-50°)cos 129°+cos 400°cos 39°=　　　　. 

6.sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°)=　　　　. 

7.cos 15°+sin 15°=　　　　. 

题组二　给值求值

8.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　)

A.- B.- C. D.

9.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为(　　)

A.0 B.1 C.±1 D.-1

10.(2019北京高二期末)设角θ的终边经过点(-3,4),则cos的值为(　　)

A.- B. C. D.-

11.已知cos=,则cos x+cos=(　　)

A.-1 B.1 C. D.

12.(2020安徽合肥一中、六中、八中高一上期中)若0<α<,-<β<0,cos+α=,cos-=,则cosα+=　　　　. 

题组三　给值求角

13.若α∈[0,π],cos cos +sin sin =0,则α的值是　(　　)

A. B. C. D.

14.(2018江西南昌十中高一上期末)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,求β的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2019湖南衡阳八中高二期末,★★☆)已知sinθ-=,且θ∈,则cos=(　　)

A.0 B. C.1 D.

2.(2020广西宾阳中学高一月考,★★☆)cos 15°=(　　)

A. B. C. D.

3.(★★☆)sin 11°cos 19°+cos 11°cos 71°的值为(　　)

A. B. C. D.

4.(2019北京高考模拟,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是射线OA和射线OB.射线OA,OC与单位圆的交点分别为A,C(-1,0).若∠BOC=,则cos(β-α)的值是　(　　)

A. B. C. D.

二、解答题

5.(2019湖北随州曾都第一中学高一期中,★★☆)设A,B,C∈,且cos A+cos B=cos C,sin A-sin B=sin C,求C-A的值.

6.(2019山东栖霞二中高一下期末,★★☆)设射线y=x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y=-x(x≤0)的位置所形成的角为θ,求cos θ的值.

7.(★★☆)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的值.

8.(2020上海嘉定高一月考,★★☆)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.

答案全解全析

第三章　三角恒等变换

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1　两角差的余弦公式

基础过关练

1.C　cos(-75°)=cos(45°-120°)=cos 45°·cos 120°+sin 45°sin 120°=×-+×=.故选C.

2.A　cos 80°cos 20°-sin(-80°)sin 160°

=cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°

=cos(80°-20°)=.故选A.

3.A　cos 40°cos 10°+sin 40°sin 10°

=cos(40°-10°)=cos 30°=.故选A.

4.答案　0

解析　cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=cos[(36°+α)-(α-54°)]=cos 90°=0,故答案为0.

5.答案　cos 1°

解析　原式=-sin 40°(-sin 39°)+cos 40°·cos 39°=cos(40°-39°)=cos 1°.

6.答案　-

解析　sin 460°sin(-160°)+cos 560°·cos(-280°)

=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°

=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°

=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)

=-cos(80°-20°)

=-cos 60°=-.

7.答案　

解析　∵=cos 60°,=sin 60°,∴cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.

8.A　∵α为锐角,且cos α=,

∴sin α==.

∵β为第三象限角,且sin β=-,

∴cos β=-=-,

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-+×-=-.故选A.

9.B　由sin αsin β=1,得cos αcos β=0,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.故选B.

10.B　因为角θ的终边经过点(-3,4),

所以sin θ=,cos θ=-,

所以cos=cos θcos+sin θsin=×+×=.

11.B　∵cosx-=,

∴cos x+cosx-

=cos x+cos x+sin x

=cos x+sin x

=coscos x+sinsin x

=cosx-=×=1.故选B.

12.答案　

解析　cosα+=cos+α--=cos+αcos-+sin+αsin-,而+α∈,,-∈,,

因此sin+α=,sin-=,所以cosα+=×+×=.

13.D　∵cos cos +sin sin =0,

∴cos-=0,即cos α=0,

又α∈[0,π],∴α=.故选D.

14.解析　∵α,β∈0,,∴0<α+β<π,

∴sin α==,

sin(α+β)==.

∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.

又β∈0,,∴β=.

能力提升练

一、选择题

1.C　解法一:∵sin=,θ∈,∴θ=,

∴cos=cos 0=1,故选C.

解法二:∵sin=,θ∈,∴cos=,

∴cos=cos

=coscos+sinsin=1,故选C.

2.B　cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=,故选B.

3.B　sin 11°cos 19°+cos 11°cos 71°=cos 11°·cos 71°+sin 11°sin 71°=cos(11°-71°)=cos(-60°)=.故选B.

4.C　依题意,有cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,

∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α

=×+×=.

二、解答题

5.解析　因为cos A+cos B=cos C,

所以cos B=cos C-cos A,

所以cos2C-2cos Ccos A+cos2A=cos2B,

同理sin2C-2sin Csin A+sin2A=sin2B,

所以1-2(cos Ccos A+sin Csin A)=0,

即cos(C-A)=.

因为C,A∈,所以C-A∈,所以C-A=±,

根据sin A=sin B+sin C得到sin A>sin C,因为C,A∈,

所以C<A,所以C-A=-.

6.解析　设射线y=x(x≥0)的倾斜角为α,则tan α=,α为第一象限角,

∴sin α=,cos α=.

同理,设射线y=-x(x≤0)的倾斜角为β,则tan β=-,β为第二象限角,

∴sin β=,cos β=-,

又θ=β-α,

∴cos θ=cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α

=-×+×=-.

7.解析　由α-β∈,π,cos(α-β)=-,可知sin(α-β)=.

又∵α+β∈,2π,cos(α+β)=,

∴sin(α+β)=-,

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

=×-+-×=-1.

∵α-β∈,π,α+β∈,2π,

∴2β∈,,∴2β=π,故β=.

8.解析　由sin α+sin γ=sin β得sin γ=sin β-sin α,

左右平方得sin2γ=sin2β-2sin βsin α+sin2α,

由cos β+cos γ=cos α得cos γ=cos α-cos β,

左右平方得cos2γ=cos2β-2cos βcos α+cos2α,

∴sin2γ+cos2γ=sin2β-2sin βsin α+sin2α+cos2β-2cos βcos α+cos2α,

化简得1=2-2cos βcos α-2sin βsin α=2-2cos(β-α),

∴cos(β-α)=,

∵α,β,γ∈,∴-α∈,

∴β-α∈-,,

又sin γ=sin β-sin α>0,∴sin β>sin α,

∴β>α,

∴β-α=.