数学选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念课文配套ppt课件

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第1课时　数列的概念与简单表示
古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.同样,对“磨刀之石”用精密仪器度量,则每日的质量按日期排在一起,也可以组成一个数列.那么什么叫数列呢?
一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
名师点析(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
微思考数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示:(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
微练习下列叙述正确的是(　　)A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B
三、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.名师点析(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cs nπ等.
微练习若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=　　　　　,224是该数列的第　　　　　项. 
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:99　15
例1给出下列说法:①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;③数列 ,…是递减的无穷数列;④数列0,1,4,9,16,…的通项公式是an=n2;⑤数列1,5,2,10,3,15,…没有通项公式;⑥摆动数列也可能有通项公式.其中正确说法的序号是　　　　　. 
分析:根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断.
解析:对于①,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确;对于④,错误,该数列的通项公式是an=(n-1)2;
反思感悟数列类型的判断在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
变式训练1下列正确说法的序号是　　　　　. ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确;同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故③错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,故④错误.答案:②
根据数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式:
分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是
反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
分析:数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;
反思感悟数列中项的判定方法判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.
数列的单调性及其应用
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列增减性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列
例5(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.
分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.
(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,
解法二:设ak是数列{an}的最大项,
反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有　　　　　小圆圈. 
分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+1
反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
1.下列各项表示数列的是(　　)A.△,○,☆,□B.2 008,2 009,2 010,…,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B
2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(　　)A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D
3.已知数列{an}的通项公式为an=lg3(2n+1),则a3=　　　　　. 解析:∵an=lg3(2n+1),∴a3=lg3(23+1)=lg39=2.答案:2