第15章：概率（B卷提升卷）- 2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷

第16章：概率（B卷提升卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2020·海南省海南中学高一期末）在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是

A．事件“至少有一件是正品”是必然事件

B．事件“都是次品”是不可能事件

C．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件

D．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件

【答案】D

【解析】

因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A、B错；

因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C错；

因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D正确，综上所述，故选D．

2、（2020·山西大学附属中学高一期末）若从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，则下列为互斥的两个事件是(    )

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“一个红球也没有”与“都是黑球”

C．“至少有一个红球”与“都是红球” D．“恰有个黑球”与“恰有个黑球”

【答案】D

【解析】

互斥的两个事件是指不能同时发生的两个事件，

对于A选项，“至少有一个黑球”包含“一黑一红和两个球都是黑球”，A选项中的两个事件不是互斥事件；

对于B选项，“一个红球也没有”表示“两球都是黑球”，B选项中的两个事件是相等事件；

对于C选项，“至少有一个红球”包含“一黑一红和两个球都是红球”，C选项中的两个事件不是互斥事件；

对于D选项，“恰有个黑球”与“恰有个黑球”不可能同时发生，这两个事件为互斥事件.故选：D.

3、根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为(　　)

A．0.65   B．0.55

C．0.35   D．0.75

【答案】　C

【解析】

　设事件“某地6月1日下雨”为事件A，“某地6月1日阴天”为事件B，“某地6月1日晴天”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(B)＝0.20，所以P(C)＝0.35，故选C.

4、（2016·天津高考）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

【答案】A

【解析】

事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.

5、（2020·郑州一中高一期末）下列正确的结论是(    )

A．事件A的概率的值满足

B．如，则为必然事件

C．灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为

D．如，则为不可能事件

【答案】C

【解析】因为必然事件的概率为1，所以可排除选项；

因为不可能事件的概率为0，所以可排除选项

根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为，故选C

6、（2020·辽宁省实验高一期末）某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为，

因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为，

因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，

所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.故选：A

7、（2020·湖北省武汉二中高一期末）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.

8、（2020·东北育才中学高一期末）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设事件A：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为，身体关节构造不合格的概率为，所以，故．

故选：B．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020·合肥一六八中学高一期末）下列命题中为真命题的是（    ）

A．若事件与事件互为对立事件，则事件与事件为互斥事件

B．若事件与事件为互斥事件，则事件与事件互为对立事件

C．若事件与事件互为对立事件，则事件为必然事件

D．若事件为必然事件，则事件与事件为互斥事件

【答案】AC

【解析】对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题.

对于B,互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）四种结果,事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B为假命题.

对于C,事件为对立事件,则在一次试验中一定有一个发生,故C为真命题.

对于D,事件表示事件至少有一个要发生,不一定互斥,故D为假命题.

故选：AC

10、（2020·全国高一单元测试）下列各对事件中,为相互独立事件的是(    )

A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”

【答案】ABD

【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，

∴，，，

即，故事件M与N相互独立，A正确.

在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；

在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；

在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.

故选：ABD.

11、（2020·全国高一课时练习）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）

A． B．事件B与事件相互独立 

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

【答案】AD

【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；同理，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．

12、（2020·聊城一中期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为

【答案】ACD

【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中模出一个红球”为事件，

则，，且，独立；

在A中，2个球都是红球为，其概率为，A正确；

在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；

在C中，2个球中至少有1个红球的概率为，C正确；

2个球中恰有1个红球的概率为，D正确.故选：ACD．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（山东师大附中模拟）某射手一次射击中，击中环、环、环的概率分别是，则这位射手在一次射击中不够环的概率是___________．

【答案】0.48

【解析】

由已知某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的事件是互斥的，而事件：“这位射手在一次射击中不够9环”的对立事件为“这位射手在一次射击中9环或10环”，故所求概率P=1-(0.28+0.24)=0.48．

故答案为0.48．

14、（徐州期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为___________．

【答案】0.35

【解析】

由题意知本题是一个对立事件的概率，

抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，

，抽到不是一等品的概率是，

故答案为．

15、（2020·上海华师大二附中高一期末）高一某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为____

【答案】

【解析】

这位考生三门科目考试成绩都不是A的概率为，

所以这位考生至少得1个A的概率为，故答案为：

16、（江苏省南通市2021-2022学年高三上学期期中考前热身）若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为___________．

【答案】9

【解析】

由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝，

P(B)＝，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝＋＝1，

所以，

当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9．

故答案为9．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2021全国高一课时练习）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

【解析】

（1）设事件“电话响第声时被接”为，

那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件，

根据互斥事件概率加法公式，

得

.

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.

根据对立事件的概率公式，得.

18、（2020·全国高一课时练习）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和.

（1）求2个人都译出密码的概率；

（2）求2个人都译不出密码的概率；

（3）求至多1个人都译出密码的概率；

（4）求至少1个人都译出密码的概率.

【解析】

（1）记“甲独立地译出密码”事件，“乙独立地译出密码”为事件，且，为相互独立事件，且，.

2个人都译出密码的概率为

.

（2）2个人都译不出密码的概率为

.

（3）“至多1个人译出密码”的对立事件“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为

.

（4）“至少1个人译出密码”的对立事件“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为

.

19、（2021·烟台市）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

【解析】

（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则

“甲赢得比赛”，.

“乙赢得比赛”，.

因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.

（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，

则；

.

于是“两人中至少有一人赢得比赛”

.

20、.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

【解析】

　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C．

∵A，B，C两两互斥，

∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝，

故1张奖券的中奖概率约为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

21、（2020·北京四中高一期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成五组，得到频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；

（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：

根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．

【解析】

（Ⅰ）由题意可知,解得.

所以此次测试总人数为.

故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人

（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件.

由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,

成绩优秀的频率为,

则估计.

（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，

因为相互独立，相互独立，

所以，，

又因为互斥，

所以.

所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为.

22、（2020·辽宁省实验高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会（这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名），其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．

【解析】

（1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则，.

设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.

则，

，．

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，则，，．

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率为．