【同步学案】苏教版（2019） 高中数学 第15章概率学案含解析

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第2课时　独立事件
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)
2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)
3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)
1．借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽象的核心素养．
2．通过具体的实际问题的研究，培养数学建模的核心素养．


五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天．
(1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？
(2)求出P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之间的关系．
知识点1　相互独立事件的概念
一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．
1．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，下列各选项中的两个事件，属于相互独立事件的是(　　)
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
B　[选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，属于对立事件；选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，两者不受彼此影响，属于相互独立事件；选项C，摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不属于相互独立事件；选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，属于对立事件．故选B．]
知识点2　相互独立事件的概率计算
(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________．
　[由题意可知P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．]
知识点3　相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗？
[提示]　(1)相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
(2)相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对事件A和B，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独立． (　　)
(2)若事件A，B相互独立，则P( )＝P()·P()． (　　)
(3)如果事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)． (　　)
(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立． (　　)
[提示]　若P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(2)正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；(4)B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误．
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

类型1　相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则
Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝．
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．

判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

[跟进训练]
1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．
[解] 　样本空间
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，
A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}
＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)}，
B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}
＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)}．
AB＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互独立．
类型2　相互独立事件发生的概率
【例2】　面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
[解]　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)他们都失败即事件同时发生．
故P()＝P()P()P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝××＝．
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P()＝1－＝．

1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．

[跟进训练]
2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
[解]　记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
记3个白球分别为白1，白2，白3，2个红球为红1，红2，从5个球中一次取2个球的取法有(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，红1)，(白1，红2)，(白2，白3)，(白2，红1)，(白2，红2)，(白3，红1)，(白3，红2)，(红1，红2)共10种．其中2个球都是白球有3种，2个球都是红球有1种，1个白球，1个红球有6种．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是．
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝×＝．
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是．
类型3　事件的相互独立性与互斥性
【例3】　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．

弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.

[解]　设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5．
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ， E ， F，以上三个事件彼此互斥且独立．
所以红队有且只有一名队员获胜的概率为
P1＝P(D ＋E＋ F)＝P(D )＋P( E )＋P( F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35．
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE ，DF，EF，DEF．
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE )＋P(D F)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55．
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1．
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P()＝1－0.35－0.1＝0.55．

求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．

[跟进训练]
3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解]　记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)三人都不合格的概率：P0＝( )＝P()·P()·P()＝××＝．
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝．
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝．
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．

1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．不相互独立事件
C　[由于事件A的发生与否对于事件B的发生不产生影响，则事件A与事件B相互独立，故选C．]
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥 B．事件A与B互为对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又独立
C　[因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．故选C．]
3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别是，，，则此密码能被译出的概率是(　　)
A． B． C． D．
C　[用事件A，B，C分别表示甲、乙、丙能译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝P()·P()·P()＝××＝，所以此密码能被译出的概率为1－＝．故选C．]
4．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
　[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝．]
5．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
0.24　0.96　[三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24．
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04．
三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
[提示]　相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)·P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
2．你能归纳一下求复杂事件概率的步骤吗？
[提示]　(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．