期末测试二（A卷基础篇）- 2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）

期末测试二（A卷基础篇）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021·江苏高一单元测试）已知，其中i为虚数单位，a，b为实数，则复数z=ab+(a﹣b)i的共轭复数为（    ）

A．﹣2+3i B．2+3i C．2﹣3i D．﹣2﹣3i

【答案】D

【解析】：因为，所以，

所以，所以，

故选：D.

2、（2020·南开中学高一期末）某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为

A．16 B．24 C．32 D．48

【答案】B

【解析】因为分层抽样总体和各层的抽样比例相同，

所以各层在总体的比例与在样本的比例相同，

所以样本中乙类型饮品的数量为.故选B.

3、（2021·安徽宿州市·高三三模（理））已知， 为两条不同直线，、为两个不同平面.下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则与共面 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【解析】对于A，当，时，可能相交、平行或异面，A错误；

对于B，若，，此时或，B错误；

对于C，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个，C正确；

对于D，若，，则可能相交或平行，D错误.

故选：C.

4、（2020·广东省执信中学高一月考）社区开展“建军周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，甲乙两人都不能获得一等奖的概率为，

因此，这两人中至少有一人获得一等奖的概率为.故选：C.

5、（2021·天津市第八中学高二月考（理））在中，若，，的面积，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三角形的面积公式可得：

由余弦定理可得：

所以

故选：A

6、（江西省南昌市第十中学高一年级第一学期期末）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

∵

∴−=3(−)；

∴=−.

故选：A.

7、（2019·陕西省子洲中学高一月考）已知函数，则下列结论正确的是

A．的最大值为1 B．的最小正周期为

C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称

【答案】C

【解析】

函数=

sin（2x）+1

对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；

对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；

对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；

对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．

故选C．

8、（2020·山东高三期中）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（    ）

A．30 B． C．33 D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，又底面，

所以球的球心为侧棱的中点，

从而球的直径为.

利用张衡的结论可得，则，

所以球的表面积为.

故选：B

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．复数的虚部为

C．若，则复平面内对应的点位于第二象限

D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【解析】

A选项，，故A选项正确.

B选项，的虚部为，故B选项错误.

C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.

D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.

故选：AD

10、（2020·湖南长沙市·长沙一中高一月考）已知，表示两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】BC

【解析】

对于选项A，若，，则与可能相交､平行或异面，A错误；

由直线与平面垂直的性质得选项B正确；

依据直线与平面垂直的性质定理得C正确；

选项D中可能与平面平行､垂直､斜交或在平面内.

故选：BC

11、（2021·全国高一课时练习）如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（    ）

A． B．BD=2

C． D．△CBD的面积为

【答案】AC

【解析】

由，得：，

又角为钝角，

解得：，

由余弦定理，得：，

解得，可知为等腰三角形，即，

所以，

解得，故正确，

可得，

在中，，得，可得，故错误，

，可得，可得，故正确，

所以的面积为，故错误．

故选：AC．

12、（2020·海南海口市·高三其他模拟）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：

则下列说法正确的是（    ）

A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

【答案】BD

【解析】

对于选项，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；

对于选项，线路一所需的平均时间为分钟，

线路二所需的平均时间为分钟，

所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；

对于选项，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；

对于选项，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，概率为，所以选项D正确．

故选：BD.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020·江苏省泰州中学高一月考）已知是纯虚数，是实数，那么等于______.

【答案】

【解析】设，则，因为是实数，所以，即，则，故答案为：

14、（2020·云南省玉溪第一中学高一期末）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．

【答案】15

【解析】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.所以本题答案为15.

15、（2020·重庆西南大学附中高一期末）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．

【答案】

【解析】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2

∴圆锥的高，

底面半径.

∴这个圆锥的表面积：

.故答案为．

16、（2020·浙江省桐庐中学高三月考）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小为________；若，则面积的取值范围是_________.

【答案】       

【解析】

∵，∴，整理得，

∴，又是三角形内角，∴，

是锐角三角形，则，∴．

由正弦定理得，，

∴，

∵，∴，∴．

故答案为：；．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）已知复数（为虚数单位）.

（1）若，求复数的共轭复数；

（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值.

【解析】（1）因为，所以，

所以复数的共轭复数为.

（2）因为是关于的方程的一个虚根，

所以，即.

又因为是实数，所以.

18、（2021·江苏吴江中学高一月考）已知向量，与同向，若．

（1）求向量的坐标表式；

（2）求与向量垂直的单位向量的坐标．

【解析】

(1)由，则，与同向，则与为零度.

设，则

所以，解得

所以

（2）设单位向量，则

又向量与垂直，则

两式联立解得，或

故向量的坐标为，

19、（2020·北师大附中高一期末）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；

（2）求恰有一人破译密码的概率；

（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：

解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为所以

请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.

【解析】（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立，

事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，

所以；

（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥

所以

（3）小明同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式

正确解答过程如下

“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”

可以表示为，且，，两两互斥

所以

20、（2018·天津一中高三月考）已知函数．

求的对称轴所在直线方程及其对称中心；

在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．

【解析】（1）

由，∴∴的对称轴方程为，

由，∴，∴的对称中心为，

（2）∵，∴，∴，

∴，得：，，∴

又，∴，∴

点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：

解：∵，∴，∵，∴

∴，∴

由正弦定理得：

∴，

∴

∵，∴

∴的周长范围为

21、（2020·湖南省常德市一中高一期末）如图四棱锥中，底面是边长为的正方形，其它四个侧面是侧棱长为的等腰三角形，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积

【解析】（1）∵取的中点为，连、，

∵为的中点，∴．

∵为正方形，为的中点，

∴，∴．

∴四边形是，∴．

又 ∵，故平面．

（2）∵为的中点，，∴，

∵为正四棱锥，∴在平面的射影为的中点，

∵，，∴，∴，∴．

22、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第三次月考）（本小题满分10分）

在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

在中，内角所对的边长分别为，且满足，，    ，求的面积．

【解析】选①因为，

所以，

所以，因为为三角形的内角，， ………………………5分

又，，

由余弦定理，可得：，

可得：，解得，或-1（舍去），

    ……………………………10分

选②，由正弦定理可得：，可得：

可得：，

，解得，，.  …………5分（后同上）

选③由正弦定理得，，，

，

，，即，，

又，.    ………………………5分（后同上）