数学必修 第二册第13章 立体几何初步本章综合与测试练习

专题强化练4　直线与平面的位置关系

一、选择题

1.(2020江苏培林高级中学高一阶段测试,)在空间中,l,m,n是三条两两不同的直线,α、β是两个不同的平面,则m∥n的一个充分条件是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.m⊥l,n⊥l

B.m∥α,n∥α

C.m,n与平面α所成的角相等

D.m∥α,m⊂β,α∩β=n

2.()如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,还需增加的一个条件是(　　)

A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β

C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH

3.()如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为(　　)

A.2+ B.3+

C.3+2 D.2+2

4.(2020江苏苏州外国语学校高一期中,)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,过AA1作平面α,使BD⊥平面α,且平面α∩平面A1B1C1D1=l,M∈l.下面给出了四个命题:

①l∥AC;

②BM⊥AC;

③l和AD1所成的角为60°;

④线段BM长度的最小值为.

这四个命题中,真命题的个数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

5.()如图,在四面体V-ABC中,已知VA⊥平面VBC,VA与平面ABC所成的角为45°,D是BC上一动点,设直线VD与平面ABC所成的角为θ,则(　　)

A.θ≤60° B.θ≥30° C.θ≤45° D.θ≤75°

6.(2020江苏海门三厂中学高一期中,)已知PA,PB,PC是从点P引出的三条射线,每两条射线间夹角都是60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　)

A. B. C. D.

7.(多选)(2020广东汕头高一期中,)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,下列四个命题正确的为(　　)

A.B1C∥平面A1C1D

B.B1C⊥BD1

C.异面直线B1C与BD所成的角为60°

D.直线B1C与平面AA1C1C所成的角为45°

二、填空题

8.()如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,N是平面ABCD外一点,设AC∩BD=O,P为NC上一点,若OP∥平面NEF,则NP∶PC=　　　　　　. 

9.(2020江苏城头高级中学阶段测试,)棱长为1的正方体AC1中,E为AB的中点,点P为侧面BCC1B1内一动点(含边界),若动点P始终满足PE⊥BD1,则动点P的轨迹的长度为　　　　. 

10.(2020江苏武进高级中学期中,)如图,空间四边形ABCD的边AD,BC成60°的角,且AD=a,BC=b,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E,F,G,H,则截面EHGF面积的最大值为　　　　. 

三、解答题

11.(2020江苏徐州高一期中,)如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为A1C、BC1的中点.

求证:(1)MN∥平面A1B1C1D1;

(2)A1C⊥平面BDC1.

12.()如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.

(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;

(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.

13.()如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱与底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.

(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;

(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.

答案全解全析

专题强化练4　直线与平面的位置关系

一、选择题

1.D　若m⊥l,n⊥l,则m与n可能平行、相交或异面,

∴选项A不是m∥n的一个充分条件;

若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,

∴选项B不是m∥n的一个充分条件;

若m,n与平面α所成的角相等,则m,n可能平行、相交或异面,

∴选项C不是m∥n的一个充分条件;

若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则根据直线与平面平行的性质定理,得m∥n,

∴选项D是m∥n的一个充分条件.

2.B　因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,EG,EF⊂平面EGHF,所以PQ⊥平面EGHF,因为GH⊂平面EGHF,所以PQ⊥GH,故选B.

3.C　由题意知四边形ABCD为菱形,∴CD∥AB.又CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,

∴CD∥平面SAB.

又CD⊂平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=EF,

∴CD∥EF.

∵CD∥AB,∴AB∥EF.

∵SE=EA,

∴EF为△ABS的中位线,

∴EF=AB=1.由题意知DE=CF=,

∴四边形DEFC的周长为3+2.

4.A　如图所示,

因为几何体ABCD-A1B1C1D1为长方体,

所以AA1⊥平面ABCD,

因为BD⊂平面ABCD,

所以AA1⊥BD,

因为AB=AD,所以四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD.

因为AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面A1ACC1,

所以BD⊥平面A1ACC1,

即平面A1ACC1为平面α,直线A1C1为l,易知l∥AC,故①是真命题;

由M∈l,得M∈A1C1,只有当M为A1C1的中点时,BM⊥AC,

当M在l上其他位置时,BM与AC不垂直,故②是假命题;

易知AD1∥BC1,则∠A1C1B为异面直线l和AD1所成的角,

因为A1B=BC1≠A1C1,所以∠A1C1B≠60°,即l和AD1所成的角不是60°,故③是假命题;

由A1B=BC1==2,可知当M是A1C1的中点时,BM⊥A1C1,

此时线段BM取得最小值,且BM===3,

故④是假命题.

故选A.

5.C　过点V作VG⊥平面ABC于点G,连接DG,则∠VDG为直线VD与平面ABC所成的角,即θ=∠VDG,故sin θ=,显然θ随VD的增大而减小,

故当VD最小,即VD⊥BC时,θ最大.

连接AD,因为VA⊥平面VBC,BC⊂平面VBC,所以BC⊥VA.

所以当VD⊥BC时,BC⊥平面VAD,易知A,G,D三点共线.

因为VA与平面ABC所成的角为45°,

所以∠VAG=45°.

因为VA⊥平面VBC,VD⊂平面VBC,

所以VA⊥VD,所以∠AVD=90°,

此时∠VDG=45°,

故θ≤45°.

6.D　如图,过PC上一点D作DO⊥平面PAB,连接PO,

则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角.

因为∠APC=∠BPC=60°,所以点O在∠APB的平分线上,即∠OPA=30°.

过点O作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,连接DE,DF,

由DO⊥平面PAB,易得PA⊥平面DOE,而DE⊂平面DOE,则DE⊥PA.

设PE=1,因为∠OPE=30°,所以OP==.

在Rt△PED中,∠DPE=60°,PE=1,则PD=2.

在Rt△DOP中,OP=,PD=2,

则cos∠DPO==,

即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是.

7.ABC　如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,易知A1B1∥CD,A1B1=CD,

所以四边形A1B1CD是平行四边形,

所以B1C∥A1D,

又B1C⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,

所以B1C∥平面A1C1D,A正确;

连接AD1,BC1,因为B1C⊥BC1,B1C⊥AB,

且AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1D1,

所以B1C⊥平面ABC1D1,

又BD1⊂平面ABC1D1,

所以B1C⊥BD1,B正确;

连接A1B,因为B1C∥A1D,

所以异面直线B1C与BD所成的角为∠A1DB,

而△A1DB为等边三角形,故∠A1DB=60°,C正确;

连接B1D1,交A1C1于点O1,连接CO1,则A1C1⊥B1D1,

又AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,

因为AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1C,所以B1D1⊥平面AA1C1C,

即B1O1⊥平面AA1C1C,

故直线B1C与平面AA1C1C所成的角为∠B1CO1,

在Rt△C1CO1中,O1C1<O1C,

所以在Rt△B1CO1中,O1B1<O1C,∠B1CO1≠45°,D错误.

故选ABC.

二、填空题

8.答案　1∶2

解析　设AC∩EF=H,连接NH,如图.

因为OP∥平面NEF,OP⊂平面NHC,平面NEF∩平面NHC=NH,

所以OP∥NH,所以NP∶PC=HO∶OC.

在正方形ABCD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,

所以HO∶OC=1∶2.

所以NP∶PC=1∶2.

9.答案　

解析　如图,分别取BC,BB1的中点F,G,连接EF,FG,EG,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BD1⊥平面EFG,又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,∴点P的轨迹为平面EFG与侧面BCC1B1的交线段FG.

在直角三角形BFG中,BG=BF=,

∴FG=,即动点P的轨迹的长度为.

10.答案　ab

解析　∵BC∥平面EHGF,BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面EHGF=EF,

∴BC∥EF,同理BC∥HG,

∴EF∥HG,同理EH∥FG,

∴四边形EHGF是平行四边形.

∵AD与BC所成的角为60°,

∴∠HEF=60°(或120°),

设==x(0<x<1),∵BC=b,

∴EF=bx,

由==,AD=a,

得EH=(1-x)a,

∴S▱EHGF=EF·EH·sin∠HEF

=bx·a(1-x)·=ab·x(1-x)≤ab·=ab,

当且仅当x=1-x,即x=时等号成立,

即E为AB的中点时,截面EHGF的面积最大,为ab.

三、解答题

11.证明　(1)如图,连接B1C,∵四边形B1C1CB为正方形,N为BC1的中点,∴N为B1C的中点,

又∵在△CA1B1中,M为A1C的中点,

∴MN∥A1B1,

∵A1B1⊂平面A1B1C1D1,

MN⊄平面A1B1C1D1,

∴MN∥平面A1B1C1D1.

(2)连接AC,

∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥BB1,BB1∩B1C1=B1,BB1,B1C1⊂平面BB1C1C,

∴A1B1⊥平面BB1C1C.

∵BC1⊂平面BB1C1C,

∴A1B1⊥BC1.

∵BC1⊥B1C,B1C∩A1B1=B1,B1C,A1B1⊂平面A1B1C,

∴BC1⊥平面A1B1C.

∵A1C⊂平面A1B1C,∴A1C⊥BC1.

易知AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

∴AA1⊥BD,

∵AC⊥BD,AC∩AA1=A,AC,AA1⊂平面AA1C,

∴BD⊥平面AA1C.

∵A1C⊂平面AA1C,

∴BD⊥A1C.

∵BC1∩BD=B,BC1,BD⊂平面BDC1,

∴A1C⊥平面BDC1.

12.解析　(1)证明:由题意得四边形ABB1A1是正方形,∴AB1⊥BA1.

由AA1⊥平面A1B1C1,A1C1⊂平面A1B1C1,得AA1⊥A1C1.

易知A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面ABB1A1,

∴A1C1⊥平面ABB1A1,

又∵AB1⊂平面ABB1A1,∴A1C1⊥AB1.

又∵BA1∩A1C1=A1,BA1,A1C1⊂平面A1BC1,∴AB1⊥平面A1BC1.

(2)连接A1D.设AB=AC=AA1=1,

∵AA1⊥平面A1B1C1,

∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.

在等腰直角三角形A1B1C1中,D为斜边B1C1的中点,∴A1D=B1C1=.

在Rt△A1DA中,AD==,

∴sin∠A1DA==,

即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.

13.解析　(1)证明:∵三棱柱A1B1C1-ABC的侧棱与底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,

∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,

AA1⊥平面A1B1C1.

∵C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.

∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.

又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面AA1B1B,

∴C1D⊥平面AA1B1B.

(2)当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.

证明:如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F.

由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D⊂平面C1DF,

∴AB1⊥平面C1DF.

易知AA1=A1B1=,

∴四边形AA1B1B为正方形.

又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,

∴F为BB1的中点.

∴当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.