第13章：立体几何初步-基本图形及位置关系（A卷基础卷）-2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）

第13章：《立体几何初步》（基本图形及位置关系）（A卷基础卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）下列说法正确的是（    ）

A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点

【答案】C

【解析】A.由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；

B.四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B错；

C.在同一平面内，梯形的一组底边平行，平行的两条直线确定一个平面，故C正确；

D.不共线的三个点确定一个唯一一个平面，故D错误.故选：C.

2、（2020·湖南省雅礼中学高一期末）在正方体中，异面直线与所成角是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在正方体中，，

所以即为所求（或其补角）.

连接，因为，所以.故选C.

3、（2020·兰州市第五十五中学高一月考）如图所示，平面，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过（     ）

A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点

【答案】D

【解析】由已知可得点，又，所以，，有平面的基本性质可得，所以与的交线必通过点和点.故选D.

4、（2020·莆田第二十五中学高一期末）以下命题（其中，表示直线，表示平面）：

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；④若，，则．

其中正确命题的个数是（   ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；

②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；

③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；

④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错．

正确命题个数为0个，故选：A.

5、(辽宁省阜新市阜蒙二高2017-2018学年高一下学期期中考试)若α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列结论错误的是    （    ）

A． 如果m∥n，α∥β那么，m与α所成的角和n与β所成的角相等

B． 如果m⊥n，m⊥α，n∥β那么α⊥β

C． 如果α∥β，m⊂α，那么    m∥β

D． 如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n

【答案】B

6、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．四点共面 B．平面平面

C．直线与所成角的为 D．平面

【答案】BC

【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；

对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；

对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；

对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC

7、（2020·湖南省衡阳市一中高一期末）如图在正四棱锥中,,,分别是,,的中点,动点在线段上运动时,下列四个结论:①;②∥;③∥面;④面中恒成立的为(    )

A．③④ B．①③ C．②③④ D．①③④

【答案】B

【解析】根据题意画出立体图形:

设与交点为,连接,连接,.

对于①, 正四棱锥,

底面,

又

平面,

分别是的中点 ∥∥

而

易证平面∥平面

平面

, 故①正确.

对于②,由异面直线的定义可知:与是异面直线,不可能∥,故②错误;

对于③,由①可知平面∥平面,故∥平面,故③正确;

对于④,由①同理可得:平面,若平面,则∥,与相矛盾,因此当与不重合时,与平面不垂直.故④错误.

综上所述,恒成立的为:①③.故选:B.

8、（2020·湖南省长郡中学高一期末）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020·江苏省海安高级中学高一月考）下列说法中正确的有（    ）

A．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为

B．用斜二测法作△ABC的直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为

C．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分

D．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

【答案】ACD

【解析】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积＝6•1×1×sin60°；

又侧棱长为,则棱锥的高h2,

所以该棱锥的体积为VS底面积h2,A正确；

对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为S′a2×sin60°,则原△ABC的面积为S＝2S′＝2a2a2,所以B错误；

对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；

若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；

所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；

对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；

综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.

10、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若则      B．若则

C．若，，则    D．若，则

【答案】ACD

【解析】

若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；

若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；

垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；

若，则，又，则，故D对；

故选：ACD．

11、（2020·枣庄市第三中学高一月考）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（    ）.

A． B． C．面 D．面

【答案】AC

【解析】如图所示，连接､相交于点，连接，.

由正四棱锥，可得底面，，所以.

因为，所以平面，

因为，，分别是，，的中点，

所以，，而，

所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；

由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；

平面平面，所以平面，因此C正确；

平面，若平面，则，与相矛盾，

因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.

故选:AC.

12、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（    ）

A．CM与PN是异面直线 B．

C．平面平面 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】共线，即交于点，共面，因此共面，A错误；

记，则，

，又，

，，即．B正确；

由于正方体中，，平面，则，，可得平面，平面，从而可得平面平面，C正确；

取中点，连接，易知，又正方体中，，∴，共面，就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D正确．

故选：BCD.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

 13、（江苏金沙中学期中）如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为__________.

【答案】60°

【解析】分别是中点，所以有而，因此

异面直线与所成角为在正方体中，,

所以，

14、（2020·湖南省长沙一中高一期末）在三棱锥中，，且，，两两垂直，点为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是__________．

【答案】

【解析】∵，，两两垂直，∴平面，

故∠AEB为直线与平面所成的角，

在RT△ABE中，AB=2，BE=，

∴sin∠AEB=，

∴直线与平面所成的角的正弦值，故答案为：

15、（2020·西安电子科技大学附属中学太白校区高一期末）已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为,则是的__________心.

【答案】外心

【解析】在三棱锥中，，

顶点在底面上的射影到底面三角形顶点距离相等，即必为的外心.故答案为：外心．

16、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)

【答案】①④

【解析】对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又，所以平面PAB，从而可得，故①正确．

对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．

对于③，由于在正六边形中，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．

对于④，由条件得为直角三角形，且PA⊥AD，又，所以∠PDA=45°．故④正确．

综上①④正确．

答案：①④

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2019-2020年南通市期中）如图，在三棱锥中，平面，，点、、分別是、、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

【解析】(1)在中，因为、分别是、的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）因为平面，平面，所以，

在中，因为，是的中点，所以，

 因为，所以，

又因为，平面，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

18、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高二联合考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为棱的中点，平面底面，．

求证：（1）平面；

（2）平面平面．

【解析】（1）连，交于点，连.

因为底面是平行四边形，所以为的中点，

因为为棱的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面；

（2），，

因为平面底面，平面平面，平面，

所以平面，因为平面，所以平面平面.

19、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，相交于点，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面

【解析】（1）连结.

因为四边形是平行四边形，，相交于点，

所以为的中点.

因为为的中点，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为，为的中点，所以.

由（1）知，，所以.

因为，， 平面，，

所以平面.

20、 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
 

求证：；

若，且平面平面ABCD，求证：平面PCD．

【解析】因为底面ABCD是正方形，所以，
又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
又A，B，E，F四点共面，平面ABEF，且平面平面，
所以；
在正方形ABCD中，，
又平面平面ABCD，且平面平面，
平面ABCD，平面PAD，平面PAD，
又平面PAD，，由可知，，
又，C，D，E，F在同一平面内，，
点E是棱PC中点，
点F是棱PD中点，在中，，，
又，PD、平面PCD，平面PCD．

21、. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.

（1）求证：CD⊥PD；

（2）求证：BD⊥平面PAB；

（3）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以CD⊥PA.

因为CD⊥AD，，所以CD⊥平面PAD.

因为平面PAD，所以CD⊥PD.

(2)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD所以BD⊥PA.

在直角梯形ABCD中，，

由题意可得，所以，所以.

因为，所以平面PAB.

（3）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.

证明：取PA的中点N，连接MN，BN，

因为M是PD的中点，所以.

因为，所以.所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN.

因为平面PAB, 平面PAB.所以平面PAB.

22、（2020·湖南省长沙一中高一期末）如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点在棱上,且

（1）证明：面面;

（2）求二面角的余弦值.

【解析】（1）证明：∵面

∴

∵在菱形中，，且

∴面，故面面

（2）连接，则面面

故在面内的射影为

∵

∴

又由（1）可得，

故是二面角的平面角

菱形中，,

∴,

又   所以

故

∴   即二面角的余弦值为