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    2.2 第2课时 基本不等式的综合应用-2021-2022学年高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)

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    2020-2021学年第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时学案

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    这是一份2020-2021学年第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时学案,共9页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。
    【学习目标】
    【自主学习】
    1、设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当 时,积xy有最大值,且这个值为eq \f(s2,4).
    设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当 时,和x+y有最小值,且这个值为2eq \r(p).
    2.基本不等式求最值的条件:
    (1)x,y必须是 ;
    (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 ;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为 .
    (3)等号成立的条件是否满足.
    3.利用基本不等式求最值需注意的问题:
    (1)各数(或式)均为正;和或积为定值;判断等号能否成立即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.
    (2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性.
    【小试牛刀】
    判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)若a>0,b>0,且a+b=16,则ab≤64.( )
    (2)若ab=2,则a+b的最小值为2eq \r(2).( )
    (3)当x>1时,函数y=x+eq \f(1,x-1)≥2eq \r(\f(x,x-1)),所以函数y的最小值是2eq \r(\f(x,x-1)).( )
    (4)若x∈R,则x2+2+eq \f(1,x2+2)≥2.( )

    【经典例题】
    题型一 对基本不等式的理解
    例1 (1)已知0<x<eq \f(1,2),求f(x)=eq \f(1,2)x(1-2x)的最大值;
    (2)已知x>1,求函数y=eq \f(x2+2,x-1)的最小值.
    [跟踪训练] 1(1)已知x,y>0,且满足eq \f(x,3)+eq \f(y,4)=1,则xy的最大值为________.
    (2)若x0,q>0,p+q=1,且x=p+eq \f(1,p),y=q+eq \f(1,q),则x+y的最小值为( )
    A.6 B.5 C.4 D.3
    2.设x,y为正数,则(x+y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)+\f(4,y)))的最小值为( )
    A.6 B.9 C.12 D.15
    3.函数y=eq \f(x2-x+1,x-1)(x>1)在x=t处取得最小值,则t等于( )
    A.1+eq \r(2) B.2 C.3 D.4
    4.当x>0时,y=eq \f(12,x)+4x的最小值为( )
    A.4 B.8 C.8eq \r(3)D.16
    5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
    A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
    6.若a0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.
    10.已知a,b,x,y>0,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,eq \f(a,x)+eq \f(b,y)=1,x+y的最小值为18,求a,b.
    【参考答案】
    【自主学习】
    x=y x=y 正数 定值 定值
    【小试牛刀】
    (1)√ (2)× (3)× (4)×
    【经典例题】
    例1 解 (1)因为0<x<eq \f(1,2),所以1-2x>0,f(x)=eq \f(1,2)x(1-2x)=eq \f(1,4)·2x(1-2x)≤eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2x+(1-2x),2)))eq \s\up12(2)=eq \f(1,16),当且仅当2x=1-2x,即x=eq \f(1,4)时等号成立,所以f(x)的最大值为eq \f(1,16).
    (2)因为x>1,所以x-1>0.设t=x-1(t>0),则x=t+1,所以y=eq \f(x2+2,x-1)=eq \f((t+1)2+2,t)=t+eq \f(3,t)+2≥2eq \r(t·\f(3,t))+2=2eq \r(3)+2,当且仅当t=eq \f(3,t),即t=eq \r(3),x=eq \r(3)+1时等号成立,所以f(x)的最小值为2eq \r(3)+2.
    [跟踪训练] 1(1)3 [解析]∵x,y>0,
    ∴eq \f(x,3)+eq \f(y,4)=1≥2 eq \r(\f(xy,12)),得xy≤3,当且仅当eq \f(x,3)=eq \f(y,4)即x=eq \f(3,2),y=2时,取“=”号,
    ∴xy的最大值为3.
    (2)-1 [解析] ∵x0,4x>0.∴y=eq \f(12,x)+4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)=8eq \r(3).当且仅当eq \f(12,x)=4x,即x=eq \r(3)时取最小值8eq \r(3),∴当x>0时,y的最小值为8eq \r(3).
    5.C 解析 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则eq \f(1,2)ab=2,∴ab=4,l=a+b+eq \r(a2+b2)≥2eq \r(ab)+eq \r(2ab)=4+2eq \r(2)≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少,故选C.
    6.大 -1 [解析] ∵a

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