高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第1课时导学案

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 《2.2基本不等式》

第1课时   基本不等式   导学案

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第二章 一元二次函数、方程、不等式

2.2基本不等式

学习目标：

1.    掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释，提升数学抽象的核心素养；
2.    会用基本不等式解决简单问题，强化逻辑推理和数学运算的核心素养。

学习重难点：

重点：基本不等式的定义以及推导过程；

利用基本不等式解决简单的最值问题。

难点：基本不等式的证明过程；

      利用基本不等式解决简单的最值问题。

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　不等式性质：                                   

②　比较大小：                                     

3. 预习——

           基本不等式：                                           

最 值：                                                 

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的，颜色的明暗使其看起来像一个风车.

【探究1】依据这个会标，你能找到一些相等或不等关系吗？

2.探索交流，解决问题

  ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当       时，等号成立．

如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得             ，当且仅当      时，等号成立．

（二）基本不等式

基本不等式的定义：  

如果          ，通常称不等式         （当且仅当a＝b时，等号成立）为基本不等式(basic inequality)．

其中，      叫做正数a，b的算术平均数，     叫做正数a，b的几何平均数．

基本不等式表明：两个正数的算术平均数             它们的几何平均数．

【思考1】不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？  如果不同各是什么？

【思考2】如何理解“当且仅当”的含义？

【探究2】如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.  你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

【拓展】   基本不等式的几种常见变形及结论

(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；

(2)ab≤(a，b∈R)；

(3)ab≤2，(a，b∈R)；

(4)＋≥2(ab＞0)；

(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；

(6)≤≤≤ (a，b都是正实数)．

【辩一辩】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)

(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　)

(3)若a，b∈R，则ab≤2.(　　)

（三）基本不等式的简单应用

1.对基本不等式的理解

例1.给出下面三个推导过程：

①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；

②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；

③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－ ≤－2 ＝－2.

其中正确的推导过程为(　　)

A．①②  B．②③  C．②  D．①③

【思维引导】　根据基本不等式中的条件进行判断．

【类题通法】基本不等式≥(a>0，b>0)的2个关注点

(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．

(2)验证等号是否成立。

【巩固练习1】下列命题中正确的是(　　)

A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2

B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4

C．当a>4时，a＋≥2 ＝6

D．当a>0，b>0时，≥

2.证明不等式

例2.(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.

(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

求证：≥8.

【思维引导】(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式；(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，

又－1＝＝≥，可由此变形入手．

【类题通法】利用基本不等式证明不等式的注意事项

(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件；

③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．

【巩固练习2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.

3.基本不等式与最值

【探究3】(1)当x＞0，y＝x＋的最小值是几？

(2)   当x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是几？　

 基本不等式与最值．

①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有       为      .

②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有      为      .

例3.(1)若x＞0，求y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

(2)设0＜x＜，求y＝4x(3－2x)的最大值。

【类题通法】若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；

若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值。

【巩固练习3】已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

操作演练  素养提升 （时量：  5分钟  满分： 15 分） 计分:       

1.下列不等式中正确的是(　　)

A．a＋≥4  B．a2＋b2≥4ab

C.≥  D．x2＋≥2

2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．a2＋b2＞2ab  B．a＋b≥2

C.＋＞                         D.＋≥2

3.若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.＞           B.＋≥1

C.≥2           D.≥1

4.已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<n＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　)

A．m>n　　　　　　 B．m<n

C．m＝n  D．m≤n

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：   第46页     练习     第1，2，3,4,5题