数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式第2课时学案

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 《2.2基本不等式》

第2课时   基本不等式的综合应用   导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第二章 一元二次函数、方程、不等式

2.2基本不等式

学习目标：

1. 通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；

2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养； 

3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。

学习重难点：

重点：利用基本不等式求最值；

利用基本不等式解决实际应用问题．

难点：基本不等式的应用；

基本不等式求最值．

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　基本不等式：                                           

②　基本不等式与最值：                                     

3. 预习——

      基本不等式：                                               

求实际应用问题的最值：                                        

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

 根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系，如下：已知x，y都是正数，则

①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.

②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.

【想一想】下面这些结论是否正确？

(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)

(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)

(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)

(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)

2.探索交流，解决问题

利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：

(1)x，y一定要都是正数；

(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；

(3)等号是否能够成立．

以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.

（二）基本不等式求最值

1.配凑法

例1.(1)若x＜0，求＋3x的最大值；

(2)若x＞2，求＋x的最小值；

(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．

【类题通法】利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．

【巩固练习1】已知x＜，求4x－2＋的最大值

2.常值代换

例2.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

【类题通法】

这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．

【巩固练习2】（2021·阜阳市耀云中学高二期中）已知x>0，y>0，且，则x+y的最小值是（　　）

A．10 B．15 C．18 D．23

（三）利用基本不等式求实际问题的最值

例3.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

【思维引导】　设每间虎笼长x m，宽y  m，则

问题（1）是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．

问题（2）是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．

【类题通法】求实际问题中最值的解题4步骤

(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．

(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．

(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式．

(4)回到实际问题中，正确写出答案．　　

【巩固练习3】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

操作演练  素养提升 （时量：  5分钟  满分： 15 分） 计分:       

1.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)

A．3   B．3－2

C．－1   D．3－2

2．当x>1时，则2x＋的最小值为           ．

3.函数y＝(x＞－1)的最小值为________．

4.已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第48页  练习     第1，2，3,4题

第48页   习题2.2   第1，3，5，6，7，8题