高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案及答案

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 8.6.3平面与平面垂直的性质
导学案
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【学习目标】
1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题
2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题
【自主学习】
知识点1 平面与平面垂直的性质定理

1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直．

2．符号语言：⇒a⊥β.

3．图形语言：



【合作探究】
探究一 面面垂直性质定理的应用
【例1】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.

[分析]　解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．
[证明]　连接BD，
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.

归纳总结：证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线

【练习1】如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求证：

(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAB.
证明：(1)因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.

(2)如图，自P点作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.
因为BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥PH.
因为∠PBC＝90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，
即PB∩PH＝P.
因为PB，PH⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
因为BC⊂平面PBC，
故平面PBC⊥平面PAB.


探究二 垂直关系的综合应用
【例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥平面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[证明]　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．
所以BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.

归纳总结：掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键.由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直(面面垂直的判定).因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽

【练习2】如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．

解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：
假设平面EBD垂直于平面ABCD，
过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO.
∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA.
∵A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，
∴P、E、C三点的投影均在直线AC上，
∴A、O、C三点共线．
又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．
又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.
又∵AO＝OC，∴AB＝CD，
这与CD＝2AB矛盾，
∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD.


课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是 (　　)
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
【答案】B
解析：由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.
2．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【答案】D
解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．
3.如图所示，三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)

A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
【答案】B
解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
4．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
【答案】A
解析：连接AC1，如图所示，

∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.
∵BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC，
∴平面ABC1⊥平面ABC，
又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，
∴点C1在底面ABC上的射影点H必在AB上．故选A.
5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′等于(　　)

A．2：1　　　B．3：1 C．3：2　　　D．4：3
【答案】A
解析：由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，设AB＝2a，
则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB：A′B′＝2：1.
6.(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD：BC：AB＝2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论，在翻折过程中，可能成立的结论的为(　　)

A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面DBF⊥平面BFC
D．平面DCF⊥平面BFC
【答案】BC
解析：如图，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，
所以BC与DF不垂直，则A错误；

设点D在平面BCF上的射影为点P，
当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而ADBCAB＝234，可使条件满足，所以B正确；
当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，
从而平面BDF⊥平面BFC，所以C正确；
因为点D的投影不可能在FC上，
所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D错误．


二、填空题
7．如图，把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有 对，其中1对是 ．

【答案】3 平面ADC与平面BDC(【答案】不唯一)
解析：由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，综上可知，互相垂直的平面有3对．
8．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为 .
【答案】
解析：如图，连接BC，∵二面角α­l­β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.

9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα：cosβ＝ .

【答案】：2
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα：cosβ＝：2.
三、解答题
10.把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.

证明：∵平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.
又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，
又AB⊥AC，CD∩AC＝C，
∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.
11.如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.


B组 能力提升
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【答案】　D
解析　如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.

2．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，PB⊥平面α，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)

A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
【答案】D
解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)

A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′­BCD的体积为
【答案】B
解析：取BD的中点O，连接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC与OC不垂直于BD矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝，∵A′B＝1，BC＝＝，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正确．∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误．VA′­BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误，故选B.
二、填空题
4．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)

【答案】　②④
解析　因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．
5．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；
④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的序号为 .
【答案】①④
解析：根据平面与平面垂直的性质定理知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．
三、解答题
6．如图，已知PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC＝90°.

(1)证明：平面ADE⊥平面PAC.
(2)作出平面ADE与平面ABC的交线l，并证明∠EAC是二面角E­l­C的平面角．(在图中体现作图过程不必写出画法)
解：(1)证明：在三棱锥P­ABC中，BC⊥AB，
BC⊥PA，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，
又AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC，
又PC⊂平面PBC，所以PC⊥AD，
因为AE⊥PC且AE∩AD＝A，
所以PC⊥平面ADE，因为PC⊂平面PAC，
所以平面ADE⊥平面PAC.
(2)作图(如图)．
在平面PBC中，记DE∩BC＝F，连接AF，则AF为所求的l，

证明如下：因为PC⊥平面AED，l⊂平面ADE，所以PC⊥l，
因为PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，所以PA⊥l，
又PA∩PC＝P，所以l⊥平面PAC，
又AE⊂平面PAC且AC⊂平面PAC，
所以AE⊥l，AC⊥l，
所以∠EAC就是二面角E­l­C的一个平面角．
7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
(1)证明　如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)解　当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
在△PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，
所以EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，
DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.