数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案

《8.6.3 平面与平面垂直》

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题】(1)垂直关系.

(2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可.

（二）平面与平面垂直

知识点一　二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

(2)相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．

(3)画法：

(4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q.

(5)二面角的平面角：

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，

则二面角α­l­β的平面角是∠AOB.

(6)二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°.平面角是直角的叫做直二面角．

【思考】由等角定理可知∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关。

【做一做】 答案：100°

知识点二　平面与平面垂直

(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)画法：

记作：α⊥β.

(3)判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

图形表示：

符号表示：l⊂α，l⊥β⇒α⊥β.

【做一做】答案：C

知识点三　平面与平面垂直的性质定理

（1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

（2）符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β

（3）图形语言：

【辩一辩】 【答案】（1）×　（2）×（3）×　（4）√   （5）√

（三）典型例题

例1.【解】(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.

∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角．

又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B­PA­D平面角的度数为90°.

(2)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.

由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.

∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角.

∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.

设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a.∴sin∠BEO＝＝.∴∠BEO＝60°，

∴∠BED＝120°.∴二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.

【巩固练习1】【解】　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.

由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

例2.【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.

又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.

在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，同理BM＝＝，

又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.

又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，

因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.

【巩固练习2】【证明】如图，取BC的中点D，连接SD，AD，

由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a，

所以△SAC，△SAB为正三角形，即有AB＝AC＝a，又BC＝a，

所以三角形ABC为等腰直角三角形，所以AD⊥BC，又SD⊥BC，

所以∠ADS恰好为二面角S－BC－A的平面角.又SD＝AD＝BC＝a，而SA＝a，

所以△SAD为直角三角形，∠SDA为直角，所以平面ABC⊥平面BSC.

例3.【证明】过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC.

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC.

∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC.

【巩固练习3】【证明】(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.

(2)连接PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，

∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.

（四）操作演练  素养提升

【答案】1.D     2.B     3.45°  4.垂直